概率与数理统计第十九讲.docVIP

PAGE PAGE 7 第21讲 参数估计习题课 教学目的：1. 通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法； 2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性； 3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。 教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。 教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。 教学时数：2学时。 教学过程： 一、知识要点回顾 1. 矩估计 用各阶样本原点矩 作为各阶总体原点矩的估计,。若有参数，则参数的矩估计为 。 2. 最大似然估计 似然函数，取对数，从=0中解得的最大似然估计。 3. 无偏性,有效性 当时，称为的无偏估计。 当时，称估计量比有效。 4. 正态总体参数的区间估计 ,当已知时，置信水平为的置信区间为； 当未知时，的置信水平为的置信区间为。 当已知时，的置信水平为的置信区间为； 当未知时，的置信水平为的置信区间为，其中一般写为。 5. 两个正态总体均差值的区间估计 当和已知时,的置信水平为的置信区间为 当和未知时,的置信水平为的置信区间为 6. 两个正态总体方差比的区间估计 的置信水平为的置信区间为。 二 、典型例题解析 1．设，求的矩估计。 解 设 则= 故，所以。 2. 设总体在上服从均匀分布，求a和b的矩估计。 解 由均匀分布的数学期望和方差知 （1） （2） 由（1）解得，代入（2）得， 整理得，解得 故得的矩估计为 其中。 3．设总体的密度函数为，求的最大似然估计。 解 设，则 设总体的密度函数已知），求参数的最大似然估计。 解 解得 。 5. 设和为参数的两个独立的无偏估计量，且假定，求常数和，使为的无偏估计，并使方差最小。 解 由于,且知，故得c+d=1。 又由于 并使其最小，即使，满足条件c+d=1的最小值。 令d=1-c，代入得， 解得。 6．对方差为已知的正态总体来说，问需取容量n为多大的样本，才能使总体均值的置信水平为的置信区间的长度不大于L？ 解 由于的置信区间为，故的置信区间长度为。所以，有，即。 7. 设某电子元件的寿命服从正态分布，抽样检查10个元件，得样本均值，样本标准差。求 (1) 总体均值置信水平为的置信区间； (2) 用作为的估计值，求绝对误差值不大于10（h）的概率。 解 (1)由于未知，s=14（h）,根据求置信区间的公式得 查表得，故总体均值置信水平为的置信区间为 (2) 1-0.05=0.95 8. 设为正态总体的一个样本，确定常数的值，使为的无偏估计。 解 由于，所以有 由（无偏性），故有，所以。 9. 为了解灯泡使用时数均值及标准差，测量了10个灯泡，得小时，小时。如果已知灯泡使用时间服从正态分布，求和的95%的置信区间。 解 由，根据求置信区间的公式得 查表知，根据求置信区间的公式得的置信区间为 而的置信区间为 10. 岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得，求的置信区间(。 解 查表得，根据求置信区间的公式得的置信区间为 = 11 . 设两位化验员A、B分别独立地对某种化合物各作10次测定，测定值的样本方差分别为。设两个总体均为正态分布，求方差比的置信度为95%的置信区间。 解 查表得，根据求置信区间的公式得的置信区间为 12. 某厂分别从两条流水生产线上抽取样本：及，测得（克），（克），。设两个正态总体的均值分别为和，且有相同方差，试求-的置信度95%的置信区间。 解 由，得。查表得）=，（克），故 根据求置信区间的公式得-的置信度95%的置信区间为 ）