概率统计模型实验.docVIP

PAGE 1 PAGE 129 概率统计模型实验 [学习目标] 能进行男大学生的身高问题中密度函数的计算； 会进行及时接车问题中的模拟概率计算； 能进行路程估计问题中的曲线拟合。 男大学生的身高问题 问题 在某一人群中，具有某种身高的人数会有多少呢？回答该问题的方法之一是利用正态概率密度函数模型。现考虑我国大学生中男性的身高，有关统计资料表明，该群体的平均身高约为170cm，且该群体中约有99.7%的人身高在150cm至190cm之间。试问该群体身高的分布情况怎样？比如将[150，190]等分成20个区间，在每一高度区间，给出人数的分布情况。特别地身高中等（165cm至175cm之间）的人占该群体的百分比超过60%吗？ 问题分析与建立模型 由于该群体身高的分布可近似看作正态分布，所以，根据已知数据不难确定该分布的均值与标准差分别为μ=170，σ=20/3，故其密度函数为 从而，身高在任一区间[a，b]的人数的百分比可利用积分来计算。 虽然通过变换再查标准正态分布的数值表，可算得上面积分，但是要得到各个身高区间上人数的分布情况，都用这种方法，显然是很繁杂的，而采用计算机却是轻而易举的事。我们通过数值积分的基本方法（矩形法、梯形法）来解决这个问题。 为了后面编程方便，我们只考虑区间[a，a+2]，将其m等分，则积分的近似计算公式如下： 矩形法 （左端点） （右端点） （中点） 梯形法 计算过程 这里用的是Mathematica，我们定义函数时用0.0598413代替，目的是为了提高运行速度。下面一段程序是计算积分。 In[1]：= f[x_ ]：=0.0598413*Exp[-0.01125*（x-170）^2]； m=10； Sum[f[150+（2*i-2）/m]*2/m，{i，1，m}] Sum[f[150 +2*i/m]*2/m，{i，1，m}] （*矩形法*） Sum[f[150+（2*i-1）/m]*2/m，{i，1，m}] Sum[（f[150+（2*i-2）/m]+f[150+2*i/m]）/m，{i，1，m}] （*梯形法*） NIntegrate[f[x]，{x，150，152}] （*数值积分*） Out[2]= 00000 注意上面输出的后三个数据，它们已很接近，还可修改m的值（增大），再次观测运行的结果。下面的程序是打印20个高度区间上人数分布的百分比表。 Print[″身高 矩形法 梯形法 数值积分命令″] Print[″ (百分比%)″] f[x_]：=0.0598413*Exp[-0.01125*（x-170）^2]； For[n=150，n190，n+=2，m=10； （*注意这里的m值，可取m=20再打印一张*） ju=100*Sum[f[n+（2*i-1）/m]*2/m，{i，1，m}]； ti=100*Sum[（f[n+（2*i-2）/m]+ f[n+2*i/m]）/m，{i，1，m}]； s=100*NIntegrate[f[x]，{x，n，n+2}]； Print[″[″，n，″，″，n+2，″）″，ju，″″，ti，″″，s]；] 为了节约篇幅，下表只列出了前10区间，而后10个区间由正态分布的对称性即可得。 身高 矩形法 梯形法 数值积分命令 [150，152） 0.211652 0.211819 0.211707 [152，154） 0.47296 0.473248 0.473056 [154，156） 0.966543 0.966977 0.966688 [156，158） 1.8064 1.80696 1.80659 [158，160）