解析数学分析背景 品味自主招生考题.pdfVIP

《数学之友》 2014年第4期 解析数学分析背景 品味自主招生考题 程 璞 (南京市中华中学，210019) 数学分析是近代数学的基础，主要有三大部分： 例 1 (2011年华约)已知函数厂() ： ， 极限、微分、积分，从内容上说还包含函数、级数、实 数论等．极限为实数论提供了基础，实数论又是分析 厂(1)=11)=2，另=1，川= )． 学的基石，因此极限可以说是数学分析 “基础”中的 (1)求数列 { }的通项公式； “基础”．从历年 自主招生考试可以看出，极限占据 (2)证明 … 1· 了以数学分析为背景的试题的近 “半壁江山”，下面 笔者将结合试题具体说明． 解析：(1)略． 1 极限论 (2)用均值不等式放缩再根据{(1+))单调 极限是导数、积分、级数概念建立的基础，其思 递增，且 (1 )=e可证 想贯穿于整个分析学，分为数列极限、函数极限两部 分，归结原则作为桥梁联系两者，关于这三方面不乏 1．1．2 ∑÷的性质 相应的考题． 调和级数部分和组成的数列{1+1+了1+… 1．1 数列极 限 求数列极限关键在于 “找”，找到与极限接近 的 + 1是发散的，发散的数量级与自然对数Inn相 那个数，至于找到后用定义或柯西准则验证则相对 当，从数值上看调和级数的部分和大于 自然对数，即 容易得多．因此掌握一些常用数列收敛或发散的状 态可以帮助我们快速判断数列 的极限，如数列 有 l+ + +…+ ln(n+1)lnn，前半部分 {1+))递“增地趋向于e，数列{耋÷)发散的可 由 1n (凡 + 1) 一 1n凡 证 得．数 列 数量级与 自然对数 Inn相当，这两种性质在 自主招 L{i∑÷-Inn}是递减的收敛数列，存在下界，因此 生考试中均有涉及． = 1 J {1+-nI))质 有极限，这一极限就是欧拉常数． 例2 (2005年复旦大学)定义在 R上的函数 {(1+)}是单调的递增数列，事实上可以用二 )= 42_ 2，s= )+ )+…+ )，n= + 项式展开定理证明(1+)：l+k主 2，3，…． =l (1)求S； {11k-l(＼t一音))，而{(，+)”)是递减数列，且 (2)是否存在常数 0，Vn≥2，有 +1+ (+)e(+)”，当一∞时{(-+))递 … + ≤ 增地趋向于e，{(1+))递减地趋向于e．2011 解析：(1)略． 年华约自主招生第 13题和2011年卓越联盟第 15 (2)不等式左边是耋÷的2倍，÷比ln凡 题第(3)小问(题 目与解答见下面第 2点)中有所 大，易知 Inn是发散的，故不等式左边是发散的，不 考查． 存在玟样 的常数．