【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 三角恒等变换章末归纳提升课件 新人教版必修4.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 三角函数求值主要有三种类型，即： (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式． (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围． (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围． 　试求tan 10°＋4sin 10°的值． 【思路点拨】　观察式中函数的特征及角的特征：有切有弦，且有数值以及4.为此采取化异为同，首先采取切化弦． 【规范解答】　原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝ ＝1. 原式＝1. (2013·大庆高一检测)已知tan(α＋)＝－(＜α＜π)， (1)求tan α的值； (2)求的值． 【解】　(1)由tan(α＋)＝－，得＝－，解得tan α＝－3. (2)＝＝2cos α. ＜α＜π，且tan α＝－3， cos α＝－.原式2×(－)＝－. 三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简． 三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的． 　证明：－＝32sin 10°. 【思路点拨】　由繁到简，故从左边到右边证明；先把左边通分后分子因式分解，再利用辅助角公式化归到与右边相同． 【规范解答】　左边＝－ ＝ ＝ ＝ ＝＝＝ ＝ ＝32sin 10°＝右边． 原等式成立． 化简：sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]． 【解】　sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β] ＝sin(α＋β)cos α－[sin(α＋β＋α)－sin(α＋β－α)] ＝sin(α＋β)cos α－[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α] ＝sin(α＋β)cos α－×2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin(α＋β－α)＝sin β. 与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型： (1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝ Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质． (2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查． 　(2013·邯郸高一检测)已知向量a＝(sin x,1)，b＝(cos x，－)， (1)当ab时，求|a＋b|的值； (2)求函数f(x)＝a·(2b－a)＋cos2x的单调区间． 【思路点拨】　(1)由a·b＝0及|a＋b|＝代入坐标求解；(2)由数量积的坐标运算法则化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k形式后再求单调区间． 【规范解答】　(1)当ab时，|a＋b|＝＝＝. (2)f(x)＝2a·b－a2＋cos2x＝2sin xcos x－1－sin2x－1＋cos2x ＝sin 2x＋cos 2x－2＝sin(2x＋)－2， 当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(kZ)时，f(x)单调递增， 解得kπ－≤x≤kπ＋(kZ)； 当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π(kZ)时，f(x)单调递减，解得kπ＋≤x≤kπ＋π(kZ)． 函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]，kZ. 单调减区间为[kπ＋，kπ＋π]，kZ. 已知函数f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)·sin(x－)． (1)若tan α＝2，求f(α)； (2)若x[，]，求f(x)的取值范围． 【解】　(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋cos 2x ＝＋sin 2x＋cos 2x ＝(sin 2x＋cos 2x)＋， 由tan α＝2， 得sin 2α＝＝＝， cos 2α＝＝＝－， 所以f(α)＝. (2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋