【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 导数及其应用章末归纳提升 新人教A版选修1-1.doc

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 导数及其应用章末归纳提升 新人教A版选修1-1 导数及其应用 导数的运算与导数的几何意义 导数的运算，要熟练掌握基本导数公式和运算法则．由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．因此关于曲线的切线问题可尝试导数的方法解决． 　设抛物线C1：y1＝x2－2x＋2与抛物线C2：y2＝－x2＋ax＋b在它们的一个公共点处的切线互相垂直． (1)求a、b之间的关系； (2)若a0，b0，求ab的最大值． 【思路点拨】　结合导数的几何意义求公共点处的导数即为斜率，由已知斜率互为负倒数进而推知a、b的关系式． 【规范解答】　(1)依题意y＝2x－2，y＝－2x＋a，设它们的公共点为P(x0，y0)，因为在P点切线互相垂直． (2x0－2)(－2x0＋a)＝－1， 即4x－2(a＋2)x0＋2a－1＝0， 则Δ＝4[(a－2)2＋4]＞0. 又y0＝x－2x0＋2，且y0＝－x＋ax0＋b， 相减得：2x－(a＋2)x0＋2－b＝0， 由有消去x0得：2b＋2a＝5， 即a＋b＝. (2)由(1)得ab≤2＝2＝， 当且仅当a＝b＝时上式取等号， ab的最大值为. 已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 【解】　(1)点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13. 切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为 f′(x0)＝3x＋1，直线l的方程为 y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16， 又直线l过点(0,0)， 0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16， 整理得，x＝－8，x0＝－2， y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13， 直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 利用导数研究函数的性质 把导数作为数学工具，求解单调区间，研究函数的极大(小)值，以及求在闭区间[a，b]的最大(小)值是本章的重点． 利用导数求函数的单调性是基础，求极值是关键，学习时一定要熟练它们的求解方法． 1．利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0； (4)不等式的解集与定义域取交集； (5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间． 2．应用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)的此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点． 　已知a、b为常数且a＞0，f(x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋b. (1)函数f(x)的极大值为2，求a、b间的关系式； (2)函数f(x)的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为－，求a、b的值． 【思路点拨】　利用导数求极值与最值的方法解参数的值． 【规范解答】　(1)f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x－a)(x＋1)， 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a，因为a＞0，所以x1＜x2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态见下表： x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  所以当x＝－1时，f(x)有极大值2，即3a＋2b＝3. (2)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0，a)上为减函数，在(a,3]上为增函数， 所以f(a)为最小值，f(a)＝－a3－a2＋b. 即－a3－a2＋b＝－，又由b＝. 于是有a3＋3a2＋3a－26＝0，即(a＋1)3＝27，a＝2，b＝－. 设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a，b的值； (2)讨论函数的单调性． 【解】　(1)f′(x)＝3x2－6ax＋3b， f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)． f(1)＝－11，f′(1)＝－12， 即 解之得a＝1，b＝－3. (2)由(1)得，f′(x)＝3(x2－2x－3) ＝3(x＋1)(x－3)． 令