【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第三章 导数应用综合检测 北师大版选修2-2.docVIP

第三章　导数应用 (时间90分钟，满分120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f(x)＝x2－ln x的递减区间为(　　) A．(0,1)　　　　　　　　B．(0,1)和(－∞，－1) C．(0,1)(－∞，－1) D．(0，＋∞) 【解析】　由题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝x－，令f′(x)0，即x－0，解得0x1或x－1(舍去)， 函数的单调递减区间为(0,1)． 【答案】　A 2．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是(　　) A．a≥0 B．a0 C．a≤0 D．a0 【解析】　f′(x)＝3ax2＋1， 当a＝0时，f′(x)＝10，f(x)单调增加，无极值； 当a≠0时，只需Δ＝－12a0，即a0即可． 【答案】　D 3．y＝xln x在(0,5)上是(　　) A．单调增函数 B．单调减函数 C．在(0，)上减，在(，5)上增 D．在(0，)上增，在(，5)上减 【解析】　y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋1， 当0x时，ln x－1，即y′0. y在(0，)上减， 当x5时，ln x－1，即y′0. y在(，5)上增． 【答案】　C 4．函数f(x)＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为(　　) A.　　　B．1 C．－1　　　D．3 【解析】　f′(x)＝3x2＋2x－1，令f′(x)＝0，即3x2＋2x－1＝0，解得x1＝，x2＝－1.又f(－2)＝－1，f(－1)＝2，f()＝，f(1)＝2，则f(x)在[－2,1]上的最小值为f(－2)＝－1. 【答案】　C 5．f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是图中的(　　) 图1 【解析】　由导数定义结合y＝f′(x)图像知， f(x)在[a，b]上的变化率由慢到快，再变慢，故选D. 【答案】　D 6．函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图像如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(　　) 图2 A．[－，1][2,3) B．[－1，][，] C．(－，)[1,2) D．(－，－1][，][，3) 【解析】　f′(x)≤0的解集，即y＝f(x)的减区间．观察图像可知为[－，1][2,3)． 【答案】　A 7．把长度10 cm的铁丝分成两段，各围成一个圆，则这两个圆面积和的最值为(　　) A．25π cm2 B.π cm2 C. cm2 D. cm2 【解析】　设分成两段的长度分别为x cm和(10－x)cm，则两圆的半径分别为 cm和 cm.它们的面积之和S＝π()2＋π·()2＝[x2＋(10－x)2]＝－20x＋100]， S′＝(4x－20)．令S′＝0，得x＝5.由实际意义知x＝5 cm时，S最小为 cm2. 【答案】　C 8．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1) 【解析】　f′(x)＝－x＋，由题意知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x2＋2x在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤(x＋1)2－1，则b≤－1，故选C. 【答案】　C 9．(2013·辽宁高考)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x0时，f(x)(　　) A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【解析】　由题意知f′(x)＝－＝.令g(x)＝ex－2x2f(x)，则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)＝ex－2(x2f′(x)＋2xf(x))＝ex－＝ex.由g′(x)＝0得x＝2，当x＝2时，g(x)min＝e2－2×22×＝0，即g(x)≥0，则当x0时，f′(x)＝≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值． 【答案】　D 10．若对任意的x0，恒有ln x≤px－1(p0)，则p的取值范围是(　　) A．(0,1] B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞) 【解析】　原不等式可化为ln x－px＋1≤0，令f(x)＝ln x－px＋1，故只需f(x)max≤0，由f′(x)＝－p知f(x)在(0，)上单调递增；在(，＋∞)上单调递减．故f(x)max＝f()＝－ln p，即－ln p≤0，解得p≥1. 【答案】　D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 11．函数y＝x－ex的递增区间为________． 【解析】　y′＝1