高三数学简单数列递推.docVIP

简单递推数列的通项与前n项和 自主学习　回归教材 1. (必修5P31练习2改编)在数列{an}中,若a1=,an=(-1)n·2an-1(n≥2),则a5等于(　　) A. - B. C. - D. 2. (必修5P34习题2.1B组3改编)已知a1=1,a2=5,且=2-an(n∈N*),那么a2 026等于(　　) A. 8101　 B. 8102　 C. 8103　 D. 8104 3. (必修5P45练习2改编)若数列{an}的前n项和Sn=3n-2,则数列{an}的通项公式为　 . 4. (必修5P45练习2改编)若数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,则a6+a7+a8=　　　　. 5. (必修5P33习题2.1A组4改编)已知数列{an}的首项a1=1,且an+1=an+2n(n∈N*),那么这个数列的通项公式为　　　　. 要点导学　各个击破 通项an与an-1的关系问题 例1　(2014·东莞一模)在数列{an}中,已知a1=1,且an+1=(n∈N*). (1) 求证:是等比数列,并求{an}的通项公式an; (2) 设数列{bn}满足bn=(3n-1)··an,且数列{bn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλTn+对一切n∈N*恒成立,求λ的取值范围. 变式　(2014·安徽卷)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. (1) 求证:数列是等差数列; (2) 设bn=3n·,求数列{bn}的前n项和Sn. 前n项和Sn与项数n的关系问题 例2　(2014·湖南卷)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和. 变式　(2014·江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求证:对任意的n1,都存在m∈N*,使得a1,an,am成等比数列. 通项an与前n项和Sn的关系问题 例3　已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,nan+1=2Sn(n∈N*). (1) 求a2,a3,a4的值; (2) 求数列{an}的通项公式an; (3) 若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 变式　已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an. (1) 求a2,a3的值; (2) 求数列{an}的通项公式. 课堂评价 在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q等于(　　) A. -3 B. -1　 C. 1 D. 3 2. 已知数列{an}的前n项和为Sn,如果Sn=3+2an(n∈N*),那么这个数列一定是(　　) A. 等比数列　 B. 等差数列 C. 除去第一项后是等比数列　 D. 除去第一项后是等差数列 3. 若等比数列{an}的前n项和Sn=3n+a,则实数a的值为(　　) A. 3　 B. 0　 C. -1　 D. 任意实数 4. (2014·广州一模)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=-,记Sn为数列{an}的前n项和,则S2 014=　　　. 5. 在数列{an}中,若a1=1,且=,则数列{an}的通项公式an=　　　　. 完善提高　融会贯通 典例　已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=2,Sn为其前n项和,5S1,S3,3S2成等差数列. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设bn=log2an,cn=,记数列{cn}的前n项和为Tn,若对任意n∈N*,Tn≤k(n+4)恒成立,求实数k的取值范围. 【规范解答】　 (1) 因为5S1,S3,3S2成等差数列,所以2S3=5S1+3S2,........................1分 即2(a1+a1q+a1q2)=5a1+3(a1+a1q), 化简得2q2-q-6=0,...........................................2分 解得q=2或q=- ................................................ 3分 因为数列{an}的各项均为正数,所以q=-不合题意, ..................4分 所以{an}的通项公式为an=2n ......................................5分 (2) 由(1)得bn=log22n=n,.................