高三数学锥曲线的定点定值范围和最值问题.docVIP

第一讲 圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 教学任务：会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值. 主要知识及主要方法： 在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 经典例题 例1、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 巩固练习 一、选择题1．已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点(　　)． A．(2,0) B．(1,0)C．(0,1) D．(0，－1) 2．设AB是过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(－c,0)，则F1AB的面积最大为(　　)． A．bc B．ab C．ac D．b2 3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　)． A．(1,2) B．(－1,2)C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 4．若AB是过椭圆＋＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝(　　)． A．－ B．－ C．－ D．－ 5．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值为(　　)． A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题6．点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________． 7．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则的最小值为________． 8．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________． 三、解答题9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值． 10．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：x2＝4 y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e＝，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在直线l，使得·＝－1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 11．如图，椭圆C0：＋＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t， b＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程； (2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t＋t为定值． ， (II)设，由得， ，. 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，， (最好是用向量点乘来)，， ，解得，且满足. 当时，，直线过定点与已知矛盾； 当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为 1．B　[因为动圆的圆心在抛物线y2＝4x上，且x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选B.] 2．A　[如图，由椭圆对称性知O为AB的