三角恒等变换与解三角形讲义.docVIP

专题七 三角恒等变换与解三角形 1．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．－ B．－ C. D. 答案：A　[将sin α＋cos α＝两边平方，可得1＋sin 2α＝，sin 2α＝－，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)(cos α＋sin α)＝－，选A.]2．若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝(　　)． A. B. C. D. 答案：D　[tan θ＋＝＝4，4tan θ＝1＋tan2θ， sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝.]3．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(　　)． A. B．－ C．± D. 答案：A　[因为8b＝5c，则由C＝2B，得sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，由正弦定理得cos B＝＝＝，所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝，故选A.]4．在ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.解析　由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4. 答案　4 1．对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点． 2．对于解三角形，重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用，通过三角形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学生分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力. 1．在三角恒等变换过程中，准确地记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键． 2．在解三角形的试题时，要弄清楚三角形三边、三角中已知什么，求什么，这些都是解决问题的思维基础，分析题设条件，利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决问题的关键. 必备知识 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcosβ±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcosβsin αsin β. (3)tan(α±β)＝. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝. (4)降幂公式：sin2 α＝，cos2α＝. 正弦定理及其变形 ＝＝＝2R(2R为ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin Asin B∶sin C. 余弦定理及其推论 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. 面积公式 SABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C. 必备方法 1．“变角”是三角变换的灵魂，因此要注意分析条件与所求之间角的联系，常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系．如2β与β是倍角关系．此外，根据条件与所求中的角的特点，常要对角进行恰当的配凑，如：β＝(α＋β)－α，＝－，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 2．要充分把握三角函数的变换规律．三角变换时，需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技巧，追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一，其中角的变换是三角变换的核心． 3．在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件． 4．解三角形的应用问题时，要将条件和求解目标转化到一个三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同时注意所求结果要满足实际问题的要求，还要注意对不同概念的角的正确理解与应用，如俯角、仰角、方位角、视角等. 的化简、求值 三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，常考查：三角恒等变换在化简、求值等方面的简单应用；三角恒等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问题，多以解答题形式出现，难度中档．　 [2014·四川卷] 已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的单调递增区间