三角恒等变换与解三角形 - 副本.docVIP

专题七 三角恒等变换与解三角形 1．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．－ B．－ C. D. 2．若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝(　　)． A. B. C. D. 3．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(　　)． A. B．－ C．± D. 4．在ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________. 必备知识 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcosβ±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcosβsin αsin β. (3)tan(α±β)＝. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝. 3、降幂公式：sin2 α＝，cos2α＝. 4、正弦定理及其变形 ＝＝＝2R(2R为ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin Asin B∶sin C. 5、余弦定理及其推论 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝，cos B＝， cos C＝. 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C. 面积公式 SABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C. 的化简、求值　　　　　　　　　　　　　【例1】已知函数f(x)＝2cos(其中ω＞0，xR)的最小正周期为10 π. (1)求ω的值； (2)设α，β，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值． 【突破训练1】 已知cos＝，x. (1)求sin x的值； (2)求sin的值． 　　　　　　　　　　　【例2】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝. (1)求的值； (2)若cos B＝，b＝2，求ABC的面积S. 【突破训练2】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a. (1)求证：B－C＝； (2)若a＝，求ABC的面积． 解三角形问题常以向量为载体，解题时通常先利用向量知识将有关向量关系式转化为三角形中的边角关系，然后再借助解三角形的知识求解，难度中档偏低．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例3】 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，A＝，(1＋)c＝2b. (1)求角C； (2)若·＝1＋，求a，b，c. 【突破训练3】 在ABC中，已知2·＝||·||＝32，求角A，B，C的大小． 　　　　　　　　　　　　　　　　　【例4】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值． 【突破训练4】如图， 某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB＝75°，CBA＝45°且AB＝100米． (1)求sin 75°； (2)求该河段的宽度． 转化与化归在解三角形中的应用 【示例】已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，ABC的面积为，求b，c. 【试一试】 在ABC中，BC＝，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求AB的值； (2)求sin的值． - 11 -