数理统计复习题第6、七章.docVIP

第六章数理统计的基本概念 三、典型题解 例1 下面是某城市公共图书馆在一年中通过随机抽样调查的道德60天的读者借书数，数据已经从小到大排列，数据如下 213 230 239 289 291 301 308 310 311 312 318 318 337 343 344 348 349 351 360 362 368 372 374 379 383 385 390 393 396 399 400 404 406 425 429 430 436 438 440 441 444 446 450 453 456 458 471 473 475 483 484 495 498 498 521 524 549 556 568 580 （1）构造该批数据的频率分布表（分成8组）；（2）画出频率直方图。 解 （1）数据中的最小值是213，最大值是584。这60个数据就散布在闭区间[213，584]中。取一个略大一点的区间（200,600],它的端点都是整数。我们将（200，600]八等分，排在下表的第一列。计算数据落入各段的个数，填入第二列。计算出数据落入各段的频率，依次填入第三列。最后将各列之和填入最后一行，得到如下的频率分布表。 借出书数发生次??发生频率（200,250]35%（250,300]23.3%（300,350]1220%（350,400]1423.3%（400,450]1220%（450,500]1118.3（500,550]35%（550,600]35%总数6099.9%直方图如下 例2 从正态分布N（，）抽取容量为16的样本，S2为样本方差。这里和均为未知，求（1）；（2）D(S2). 解 （1） （2） 例3 设总体X~B(1,p)，X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本， （1）求（X1，X2，…，Xn）的分布律； （2）求的分布律； （3）求 解 （1）（X1，X2，…，Xn）的分布律为 X1，X2，…，Xn独立同分布，且X1~B(1,p),所以，其分布律为 因为E(X)=p,D(X)=p(1-p),所以 例4 设总体X服从N（,σ2），X1，X2，…，Xn为来自X的简单随机样本，是样本均值,记 则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是【 】 A． B. C. D. 解 由抽样分布知，经过形式变换它正是B。而S3和S4与不独立，故C和D是不成立的。 例 5 从一正态总体中抽取容量为100的简单随机样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差绝对值在4以上，求总体标准差。 解 设总体X~ N（,σ2）,样本均值为，则有 于是有查标准正态分布表得 例6 设总体X有概率分布 X123P2（1-）现在观察容量为3的样本，求的极大似然估计值。 解 此时似然函数为 例7 设为总体X的一个样本。求下述总体密度函数中未知参数的矩估计量 其中c0为已知，θ1，θ为未知参数。 解 计算总体一阶原点矩 例8 设为总体X的一个样本,在下面两种情况下，试求总体参数的极大似然估计与矩估计。 （1）X的概率函数为 （2）X的密度函数为 解 设是样本的观察值。 （1） 似然函数为 所以极大似然估计量为 。 另外 所以的矩估计量为 （2） 所以极大似然估计量为 另外， 所以的矩估计量为 【注意】本例中（1）是离散型的，而（2）是连续型的，故它们的似然函数是不一样的，希望加以注意。 例9 设为总体X的样本，记?=EX，若存在。则样本均值是?的无偏估计，样本方差是的无偏估计。 证明：因，故是?的无偏估计，而 故是的无偏估计。 例10设总体X服从（未知），是总体X的一个样本，又设,,,在中哪几个是μ的无偏估计，其中哪个是较有效的。 解 由于 , , ， 所以是μ的无偏估计。又由于 , , , 由于，所以在μ的无偏估计中，是最为有效的。 例11 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：h）分别为 6．0，5．7，5．8，6．5，7．0，6.3,5.6,6.1,5.0. 设干燥时间总体服从正态分布，求的置信度为0.95的置信区间。 （1）若由以往经验知=0.6(小时)；（2）若为未知。 解 (1) 的置信度为0.95的置信区间为 这由1-α=0.95,α=0.05,查表得,n=9, =0.6 (6．0+5．7+5．8+6．5+7．0+6.3+5.6+6.1+5.0)=6.0 将这些值代入上区间得（5.608,6.392）. (2) 的置信度为0.95的置信区间