分式方程增根妙用.docVIP

21世纪教育网 精品试卷·第  PAGE 2 页 （共  NUMPAGES 10 页） -  PAGE 4 - 分式方程增根的妙用 解分式方程可能会产生增根，因此验根是解分式方程必不可少的步骤，不可否认，增根的出现给我们解题带来了麻烦，然而巧妙利用增根也可使之“变废为宝”，帮助我们寻找解题途径，现举例说明． 例1.（重庆）若关于的方程有增根，则的值为___________. 分析：分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；即增根就是使分式方程的分母为零的未知数的值，所以增根只能是，它应该是原方程去分母后的整式方程的根. 解：因为分式方程有增根，所以增根只能是，原方程去分母得：，将代入并整理得,故应填. 例2.（山东）若解分式方程－＝产生增根，则的值是（ ）. （A）－1或－2 （B）－1或2 （C）1或2 （D）1或－2 分析：解分式方程会产生增根，则产生的增根就是使分式方程的分母为零的未知数的值，即增根就是或.因此可以将或分别代入去分母后的整式方程中来求解. 解：因为解此分式方程会产生增根，所以增根就是或.原方程去分母得：，分别将或代入，求得或.故选（B）. 例3.（2009年绥化）若关于的方程无解，则 ． 分析：分式方程无解是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．本题属于第二种情况，即原方程去分母之后得到的整式方程的解恰好是原分式方程的增根：. 解：方程两边都乘以，得．解这个方程，得．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根,即.所以，解得．故当时，原方程无解． 例4．（2009年牡丹江）若关于的分式方程无解，则 ． 分析：本题中的分式方程去分母后转化为整式方程，除了考虑这个整式方程的解恰好是原分式方程的增根外，还要考虑它本身无解的情况. 解：方程两边都乘以，得,整理得.若原方程无解，则有两种情形： （1）当时，,方程为，此方程无解，所以原方程无解. （2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为或，.把 代入，a值不存在；把 代入，解得． 综上所述，当或时，原方程无解． 分式方程有增根与无解的关系 分式方程有增根与分式方程无解之间有区别吗？是一回事吗？不仔细推敲，许多同学会认为分式方程有增根解与分式方程无解是同一回事.事实上，并非如此. 同学们请看，分式方程有增根，指的是解分式方程求出的解是原分式方程变形后所得整式方程的解，但这个解并不是原分式方程的解，即这个解使最简公分母为0. 例1（2009年山西省中考试题）解分式方程+2＝，可知方程（ ） A.解为x＝2 B.解为x＝4 C.解为x＝3 D.无解 分析　由于2－x＝－(x－2)，所以方程的最简公分母(x－2)，此时，可在方程的两边同乘以(x－2)，化分式方程为整式方程，进而求解检验，注意2不能漏乘最简公分母. 解　去分母，得1－x+2＝－1，解得x＝2， 当x＝2时，3(x－2)＝0，所以x＝2是增根，原方程无解.故应选D. 在本例中，分式方程有增根，方程无解，但并不是说只要有增根方程就无解，事实上，有增根的分式方程并不全是无解的. 例2（2009年牡丹江市中考试题）若关于x的分式方程－＝1无解，则a＝＿＿＿. 分析　已知关于x的分式方程无解，则表明方程有增根，此时当x－1＝0，或x＝0都会使方程出现增根而导致方程无解，由此，可先按照正常的解分式方程的第一步，化分式方程为整式方程，再将增根代入求得. 解　去分母，得x(x－a)－3(x－1)＝x(x－1)， 因为原方程无解，即原方程有增根，所以x－1＝0，即x＝1，或x＝0. 当x＝1时，有1×(1－a)－3(1－1)＝1×(1－1)，解得a＝1； 当x＝0时，有0×(0－a)－3(0－1)＝0×(0－1)，解得a＝－2. 所以a＝1，或－2. 对于求解分式方程无解问题时，其中一种方法就是先将分式方程转化为整式方程，进而利用增根代入即可求得字母系数.事实上，本题在去分母后可化简，得(a+2)x＝3，此时，由方程无解可知a+2＝0，即a＝－2，这正是当增根x＝0时求得的. 例3　若关于x的方程＝m无解，求m的值. 分析　先直接按照去分母的方法，化分式方程为整式方程，进而利用无解的意义讨论. 解　一方面，去分母、整理，得(1一m)x＝一4m…①， 显然，当1一m＝0，而4m≠0时