一元二次方程根的两个特性和简单运用.docVIP

PAGE3 / NUMPAGES3 一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读，再填空解题： (1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x1=6, x2=-2，则x1+x2=4，x1·x2=-12； (2)方程2x2-7x+3=0的根是：x1=, x2=3，则x1+x2=，x1·x2=； (3)方程3x2+6x-2=0的根是：x1= , x2= .则x1+x2= ，x1·x2= ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1x2与系数a、b、c有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。 解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x1= x2=-2。则x1+x2=，x1·x2=。 能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1x2。理由如下： 根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数）的两根为： ， 所以x1+x2=+ x1x2=· 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商． 下面我们再来探索一元二次方程根的另一个特性。 例2、计算并观察下列一元二次方程根的特点： (1)x2-x-3=0 (2)2x2-8x+5=0 (3)x2-3x+1=0 观察以上（1）(2)(3)的解，你能否猜出：如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为有理数，为无理数）的两根为x1、x2，那么x1与x2之间什么关系？请写出你的猜想并说明理由。 解析：(1)方程：x2-x-3=0的根是：x1=,x2=； (2)方程2x2-8x+5=0的根是：x1=, x2=； (3)方程x2-3x+1=0的根是：x1=, x2=。 能猜出：如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为有理数，为无理数）的两根为x1、x2，那么x1与x2之间的关系是：两根均和，即“有理部分”相同，“无理部分”互为相反数。理由如下： 根据求根公式可知，关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为有理数，为无理数）的两根为： ， 两根均为和的形式，即“有理部分”相同，“无理部分”互为相反数。 下面我们运用以上性质来巧解一题。 例3、如果一个有理系数的一元二次方程x2+bx+c=0的一个根为，求b+c的值。 解析：因为有理系数的一元二次方程x2+bx+c=0的一个根为，则该方程的另一个根为。再利用根与系数的关系可得：b=-4，c=1。所以b+c=-3。 关于一元二次方程的根与系数的关系还有许多运用，希望大家在今后的学习中逐步体会。