（文理通用）高三数学一轮复习 4.3平面向量的数量积精品试题.docVIP

PAGE  平面向量的数量积 (45分钟　100分) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(2014·大连模拟)a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a-b=(3,18),则向量a,b夹角的余弦值等于(　　) A.865 B.-865 C.1665 D.-1665 【解析】选D.b=2a-(3,18) =(8,6)-(3,18)=(5,-12), 设a,b的夹角为θ,则 cosθ= QUOTE a·b|a||b| =20-365×13=-1665. 2.已知下列结论: ①(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2; ②(a·b)2=a2·b2; ③若a∥b,则a·b=|a||b|; ④若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a⊥b. 其中正确结论的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.设a与b的夹角为θ,对于①,结论显然正确;对于②,(a·b)2=(|a||b|cosθ)2=|a|2|b|2cos2θ≤|a|2|b|2=a2·b2,所以②不正确; 对于③,当a,b同向时有a·b=|a||b|;当a,b反向时有a·b=-|a|·|b|,故③不正确; 对于④,由|a+b|=|a-b|,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以a⊥b,故④正确. 3.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.当m=1时,(a-b)·a=a2-a·b=1-1×2×cos60°=0,故(a-b)⊥a;反之当(a-mb)⊥a时,有(a-mb)·a=a2-ma·b=1-m·(1×2×cos60°)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)⊥a”的充要条件. 4.(2014·温州模拟)在△ABC中,∠C=90°,且AC=BC=3,点M满足BM→=2MA→,则CM→·CB→等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】选B.方法一:如图,以C为原点,CA,CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),设M(x0,y0), 因为BM→=2MA→, 所以x0=2(3-x0),y0-3=2(-y0), 所以x0=2,y0=1, 所以CM→·CB→=(2,1)·(0,3)=3,故选B. 方法二:因为BM→=2MA→,所以BM→=23BA→, 所以CB→·CM→=CB→·(CB→+BM→)=|CB→|?22+CB→·23BA→=9+23×3×32×-22=3. 5.(2014·宝鸡模拟)已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是(　　) A.42,0 B.4,42 C.16,0 D.4,0 【解析】选C.根据题意,由于向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(3,-1),那么可知|2a-b|2=4a2+b2-4a·b=4+4-4(3cosθ-sinθ)=8-8sinπ3-θ, 所以最小值为0,最大值为16,故答案为C. 【加固训练】 已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么PA→·PB→的最小值为(　　) A.-4+2 B.-3+2 C.-4+22 D.-3+22 【解析】选D.设∠APB=2θ,|PO→|=x, 则PA→·PB→=|PA→||PB→|·cos2θ=|PA→|2cos2θ= (|PO→|2-1)·(1-2sin2θ)=(x2-1)·1-2x2=x2-2-1+2x2≥-3+22,当且仅当x2=2x2,即x=42时取等号. 6.已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|+AC→|AC→|·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC 为(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形 【思路点拨】注意AB→|AB→|,AC→|AC→|是单位向量,利用向量加法的平行四边形法则及平面向量的数量积变形计算,由所得结果进行判断. 【解析】选A.因为AB→|AB→|·AC→|AC→|=AB→·AC→|AB→||AC→| =|AB→||AC→|cos∠BAC|AB→||AC→|=cos∠BAC=12, 所以∠BAC=60°, 又AB→|AB→|+AC→|AC→|与以∠BAC为顶角的菱形的一条对角线共线, 即是∠BAC的平分线, 由题意,得∠BAC的平分线与BC边垂直, 所以AB=AC,故△ABC为等边三角形. 【加固训练】 (2014·景德镇模拟)在△ABC中,若|BA