（文理通用）高三数学一轮复习 3.6简单的三角恒等变换精品试题.docVIP

PAGE  简单的三角恒等变换 (45分钟　100分) 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.(2014·金华模拟)化简sin4α4sin2π4+αtanπ4-α得(　　) A.sin2α B.cos2α C.sinα D.cosα 【解析】选A.4sin2π4+αtanπ4-α =4cos2π4-αtanπ4-α =4cosπ4-αsinπ4-α =2sinπ2-2α=2cos2α, 所以sin4α4sin2π4+αtanπ4-α=sin4α2cos2α =2sin2αcos2α2cos2α=sin2α. 2.(2013·台州模拟)在△ABC中,已知tanA+B2= sinC,则△ABC的形状为(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选C.在△ABC中,tanA+B2=sinC =sin(A+B)=2sinA+B2cosA+B2, 所以2cos2A+B2=1, 所以cos(A+B)=0, 从而A+B=π2,△ABC为直角三角形. 3.(2013·嘉兴模拟)已知函数f(x)=sinx+3cosx,设a=fπ7,b=fπ6,c=fπ3,则a,b,c的大小关系是(　　) A.abc B.cab C.bac D.bca 【解析】选B.f(x)=sinx+3cosx=2sinx+π3, 因为函数f(x)在0,π6上单调递增, 所以fπ7fπ6, 而c=fπ3=2sin2π3=2sinπ3=f(0)fπ7, 所以cab. 4.(2013·浙江高考)函数f(x)=sinxcosx+32cos2x的最小正周期和振幅分别是 (　　) A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2 【解析】选A.f(x)=sinxcosx+32cos2x =12sin2x+32cos2x=sin2x+π3, 所以A=1,T=π. 5.(2013·六安模拟)已知2sinθ=1+cosθ,则tanθ2等于(　　) A.2 B.12 C.12或不存在 D.不存在 【解析】选C.当1+cosθ=0时,tanθ2不存在. 当1+cosθ≠0时,tanθ2=sinθ2cosθ2=sinθ2·cosθ2cosθ2·cosθ2=2sinθ2·cosθ22cosθ2·cosθ2=sinθ1+cosθ=12. 【加固训练】 计算tanπ4+α·cos2α2cos2π4-α的值为(　　) A.-2 B.2 C.-1 D.1 【解析】选D.tanπ4+α·cos2α2cos2π4-α =sinπ4+α·cos2α2sin2π4+αcosπ4+α =cos2α2sinπ4+αcosπ4+α =cos2αsin2π4+α=cos2αsinπ2+2α =cos2αcos2α=1. 6.已知曲线y=2sinx+π4·cosπ4-x与直线y=12相交,若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1,P2,P3,…,则|P1P5→|等于(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 【思路点拨】先化简解析式,再将所求长度转化为周期求解. 【解析】选B.注意到y=2sinx+π4cosπ4-x =2sin2x+π4=1-cos2x+π4=1+sin2x,又函数y=1+sin2x的最小正周期是 2π2=π,结合函数y=1+sin2x的图象(如图所示)可知,|P1P5→|=2π,选B. 二、填空题(每小题6分,共18分) 7.(2014·舟山模拟)若函数f(x)=sinωx+3cosωx,x∈R,又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为3π4,则正数ω的值为　　　　. 【解析】f(x)=sinωx+3cosωx=2sinωx+π3,因为f(α)=-2,f(β)=0,且 |α-β|的最小值为3π4,所以函数f(x)的最小正周期为3π,所以ω=2πT=2π3π=23. 答案:23 8.已知半径为1的半圆,PQRS是半圆的内接矩形,如图,则矩形的面积最大为　　　　. 【解析】连接OP,设∠POS=θ,则OS=OPcosθ,PS=OPsinθ,所以PQRS的面积=2OS·PS=2sinθcosθ=sin2θ.所以当θ=π4时,面积最大,最大值为1. 答案:1 9.(能力挑战题)若函数f(x)=sinωx+cosωx(ω≠0)对任意实数x都有fπ6+x=fπ6-x,则fπ3-πω的值等于　　　　　. 【解析】f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+π4,由题意知,f(x)的图象关于x=π6对称, 所以sinπω6+π4=±1, 得πω6+π4=π2+kπ(k∈Z), 即πω6=π4+kπ(k∈Z). 故fπ3-πω=2sinωπ3-πω+π4 =2sinπω