用特征方程求数列的通项.docVIP

 PAGE 8 用特征方程求数列的通项 一、递推数列特征方程的研究与探索 递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的？ （一）、 若数列满足其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列： 设 ，令，即，当时可得 ，知数列是以为公比的等比数列， 将代入并整理，得. 故数列对应的特征方程是：x=cx+d （二）、二阶线性递推数列 仿上，用上述参数法我们来探求数列的特征：不妨设，则, 令 （ ※） （1）若方程组（ ※）有两组不同的实数解, 则, , 即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列通项公式可得 ①, ②, ∵由上两式①+②消去可得 . （2）若方程组（ ※）有两组相等的解，易证此时，则 ，,即是等差数列，由等差数列通项公式可知，所以． 这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（※）消去即得，显然、就是方程的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列的特征方程， 所以有结论： 若递推公式为 则其特征方程为 若方程有两相异根、，则； 若方程有两等根，则. 其中、可由初始条件确定。 （三）分式线性递推数列（）， 将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数，则 ①， 令，即 ②， 记②的两根为， （1） 若，将分别代入①式可得 ， 以上两式相除得，于是得到为等比数列，其公比为，数列的通项可由求得； （2）若，将代入①式可得,考虑到上式结构特点，两边取倒数得 ③ 由于时方程③的两根满足，∴ 于是④式可变形为 ∴为等差数列，其公差为， ∴ 数列的通项可由求得． 这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列的特征方程为，即，此特征方程的两根恰好是方程②两根的相反数，于是我们得到如下结论： 分式线性递推数列的特征方程为 1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为； 2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为. 值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致， 三、例题 已知数列且，求通项公式。 解 设，∴ 令 ， 可得， 于是 …， ∴，即是以为首项、为公差的等差数列， ∴，从而. 例2、设数列满足. 解： 对等式两端同加参数得 令，解之得，，代入上式 得 ， 两式相除得 即的等比数列， ∴． 四、本课小结： 1．可用特征方程解决递推数列的三类模型 ⑴．线性递推关系： 已知 ⑵．齐次二阶线性递推关系： 已知 且 ⑶．分式递推关系： 已知， 2. 特征根方程及求法 ⑴． 的特征根方程为 x=px+q，其根为,则=p() ⑵. 的特征根方程为设两实根为, ①.若时,则=,其中,是由,确定 ②. 若=时,则其中,是由, 确定 ⑶. 的特征根方程为若方程的两根为, 若且,则即{}等比数列 若且,则即{ }等差数列 五、练习 1．已知数列满足：求 2.已知数列{}满足=3,=6,=4-4求 3. 已知数列{}满足=3,=6,=2+3求 4. 各项均为正数的数列{}=a, =b，且对任意的m+n=p+q的正整数 m，n，p，q， 都有当a=,b=时 ，求通项 5:已知数列满足,求通项. 6．已知数列满足，求数列的通项 7．已知数列满足，求数列的通项 8．已知数列满足，求数列的通项 9．已知数列满足，求数列的通项 练习答案 1、解：作特征方程 数列是以为公比的等比数列.于是 =（） 2、解：作特征方程x2=4x-4由特征根方程得==2故设=(+n) ,其中3=+,6=(+2).2， 所以=3, =0,则=3. 3、解：作特征方程x2=2x+3由特征根方程得=3, =-1所以=+其中3=+, 6=3-， 得=, =所以=.+ 4、解:由得将代入上式化简得考虑特征方程得特征根所以，所以数列是以为首项,公比为的等比数列，，故 即 5、解: 考虑特征方程，得特征根， 所以数列是以为首项,公差为1的等差数列， 故 即 6．解：其特征方程为，解得，令， 由，得， 7．解：其特征方程为，解得，令， 由，得， 8．解：其特征方程为，得，解得，令 由得，