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2012 年第 12 期 20 12 中国西部数学奥林匹克 中图分类号 : 以 24 .79 文献标识码 : A 文章编号 : 1叨5 一64 16( 20 I2 )12 一0 3 一04 第 一 天 . 7.对 n x n 的方 格表 , 称有公 共边 的方格 是 /相 邻 的 0. 开始 时, 每 个方 格 中都 写着 1.求最小的正整数 m , 使得对 于任意大 + 1, 对方格表进行一次操作是指 :任取其 中 于 3 的质数 , , 都有 105 一(9 0, 一29 / + m ). 一个 方格 , 不改 变此 方格 中的数 , 而将所 有与 (杨 虎 供 题 ) 此方格相邻的方格中的数都改变符号.求所 2.证 明 :在正 2n 一1(n 23) 边 形 的顶 点 有的正整数 n 多2 , 使得可 以经过有 限次操 中, 任意取出 n 个点, 其 中必有三个点 , 以它 作 , 将所有方格 中的数都变为 一1. 们为顶点的三角形为等腰三角形. (沈虎跃 供题 ) (邹 瑾 供题 ) 8.求所有 的质数 p , 使得存在无穷多个 3.设 E 是一个 给定 的 n 元集合 ,A !, A:, 正整数 n ,满足 ,,A * 是 E 的 k 个两两不同的非空子集 , 满 , l[n /-. + (n + l)/]. (陈永高 供题 ) 足:对于任意的 1 - ij 毛k ,要么 A.门A, = 必, 要么A -与凡中的一个是另一个的子集.求 k 参 考 答 案 的最大值. (冷岗松 供题) 第 一 天 4.已知 P 为锐角 v AB C 内部任意一点 , 点 E !F 分别为 P 在边 AC !AB 上的射影.B 尸! 1.注 意到 , 105 = 3 x s x 7. CP 的延 长线分 别与 v AB C 的外 接 圆交 于点 原题等 价 于求 最小 的正整 数 m , 使 得 B l !c , , 设 v AB c 的外接圆 !内切圆的半径分 9 /, 一29, + m 同时 能被 3 !5 !7 整 除. 由 p, !p 的奇偶性 相 同知 别为R 证明:李孕二妥 并确定等号成立 一/ -一0!-一 . -.鱿 q 一 R ,. -0 0-~ ./ 一 一 尹 一罗 十二(一)p, 一(一l)p十二m (耐 5). 时点 P 的位置. (李秋 生 供题 )