直角四面体的性质的证明.docVIP

直角四面体的性质的证明 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 直角四面体有下列性质： A B C D O H 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=,OB=,OC=.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形； ②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③体积??? V= ； ④底面面积S△ABC=； ⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC； ⑥S2△BOC+S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC ⑦ ; ⑧外接球半径??? R= ； ⑨内切球半径? r= 由正四面体的性质，运用联想类比的思想方法来探求直角四面体的性质。所谓直角四面体就是有一个三面角的各个面角都是直角的四面体。如图，四面体OABC在点O处的三个面角都是直角。所以四面体OABC是直角四面体。? 直角四面体的性质： ① 直角四面体的对棱互相垂直. 证明：如图?OB ⊥ OC，OB ⊥ OA。 OB ⊥ 平面OAC， 又 ，同理可得:? 直角四面体的对棱互相垂直. ② 二面角A-OB-C??二面角A-OC-B、二面角B-OA-C都是直二面角. 证明：由（1）得OB ⊥ 平面OAC， ∠AOC是二面角A-OB-C的平面角，即二面角A-OB-C是直二面角。 同理可得:OC ⊥ 平面OAB，二面角A-OC-B是直二面角， ???????? OD ⊥ 平面OBC，二面角B-OA-C是直二面角。 ③ 直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心. 证明：连结，并延长交于，连结 由三垂线定理的逆定理得? 同理， ④ S2△BOC=S△BHC·S△ABC 证明：???? ?????? ??????? ⑤?. 证明：? ???????? 即? ?????? ????? 同理，在 ?????? ⑥ 不含直角的底面ABC是锐角三角形. 证明：设OA = a，OB = b，OC = c，则 ??????，?，?， ????? 在中，由余弦定理得 ??????， 所以∠BAC是锐角.同理可得∠ABC、∠ACB是锐角，所以△ABC是锐角三角形. ⑦ S2△BOC+S2△△AOB+S2△AOC=S2△ABC（底面面积S△ABC=） 证明：由（6）得：? ?????? ?????? ?????? ?????????? ?????????? ⑧ 体积 V=. 证明：? ⑨ 外接球半径 R=?. 如图所示，以点O为长方体的一个顶点，OA、OB、OC为长方体的三棱作长方体OBEC-AFGH，则四面体OABC的外接球也是长方体OBEC-AFGH的外接球.设四面体OABC的外接球半径是R，则. ⑩ 内切球半径r= 设△OAB的面积是S1，△OAC的面积是S2，△OBC的面积是S3，△ABC的面积是S4，则 ??????????????????????，?，?， 由⑦得:?. 由等体积原理得:? ?????????????? 所以,内切球半径 r=