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清北学堂 2013 年暑假数学竞赛专题班讲义（内部资料） PAGE18 / NUMPAGES18 [键入文字] [键入文字] [键入文字] 数学竞赛专题班讲义 2013年暑期北京校区 （录入手稿） 授课老师(按授课顺序排列) 陶平生教授（讲义随堂已发） 叶中豪教授（部分随堂已发） 黄宣国教授（讲义随堂已发） 清北学堂——高中学业规划专家 清北学堂学科QQ群： 数学学生群1群 2群数学老师群173896101物理学生群物理老师群195395058化学学生群化学老师群生物学生群生物老师群195395499信息学学生群2695681信息学老师群195395739自主招生学生群1群 2群自主招生老师群  高中平面几何 (上海 叶中豪) 焦点话题 三角形中的巧合点 Simson线及垂足三角形 圆幂与根轴 例题和习题 1．已知ABCD是圆内接四边形，IA、IB、IC、ID分别是△BCD、△ACD、△ABD、△ABC的内心。求证：IAIBICID是矩形。（Fuhrmann定理） 2．已知：△ABC中，AB＝AC，BE、CF是的高，H是垂心，过H作AB的平行线交AC于D，AH延长交外接圆于G点。求证：DF⊥FG。 3．已知△ABC中，AB＝AC，O、I分别是△ABC的外心和内心，点D在AB边上，且OD⊥BI。求证：ID∥AC。 4．已知圆内接四边形ABCD，有一半圆直径落在BC边上，且与AB、CD、AD都相切。求证：AB＋CD＝BC。 H G I F E 法1：在BC上截取BE=AB，若E≠0，则∠AEB=90°-∠B/2=∠ADO 所以A、E、O、D共圆，所以∠DAO=∠DEC=90°-∠C/2，所以CD=CE 法2：作△HFO≌△DGO，所以BH=BO=BF+DG=BF+DI 法3：S△ECD= S△OEC+ S△OED- S△OCD=?（a+b-c）r，所以S△EAB=?k（a+b）r，又因为S△EAB=k2 S△ECD 所以a+b=k(a+b-c)，所以ka-b+kb-a=kc，所以AD+BC=AB 5．在△ABC左右两边上截取BE＝CF＝BC。O是△AEF的外心，I是△ABC的内心。求证：OI⊥BC。 6．已知：E、F在△ABC的AB、AC两边上，且BE＝CF＝BC，I是△ABC的内心，S是△ABC外接圆BC弧中点，T是△AEF外接圆EF弧中点。求证：SI＝IT。 7. 已知：△ABC ≌ △ADE，延长底边BC，ED交于P点， O是△PCD的外心。 求证：AO⊥BE。 8．已知D是△ABC的BC边上任一点，O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心。求证：A、O、O1、O2四点共圆。（Salmon定理） △O1AB∽△O2AC， 所以∠O1A O2=∠BAC=180°-∠O1OO2 9．已知ABCD是梯形（AD∥BC），E是腰AB上的动点，O1、O2分别是△ADE、△BCE的外心。求证：O1O2的长度不随E点的运动而变化。 10．已知：点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。求证：△O1O2O3∽△ABC。 证法一证法二 11．已知：AM是△ABC的中线，P是△ABC 内一点，满足∠BAM＝∠CAP，O、O1、O2分别是△ABC、△ABP、△ACP的外心。求证：AO平分O1O2。 12．在△ABC中，D是BC边上一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O′是经过A、O1、O2三点的圆之圆心。求证：O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心。 13．过矩形ABCD的顶点作一条直线，分别与BA、BC的延长线交于E、F，点O是矩形的中心，且OE＝OF。求证：＝＝。 需知 CF/AB=AD/EA=FB/EB=EA/CF 只需EA·EB=FC·FB 14．已知O是△ABC的垂心，点E、F分别在AB、BC边上，L、M、N分别是EF、BF、CE中点。求证：过L、M、N三点的圆与EF相切的充要条件是OE＝OF。 15．设⊙O1与⊙O2交于C、D，过D的直线交⊙O1与⊙O2于A、B，点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交与N，O为△ABC的外心。求证：MN⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。 16．已知E、F是△ABC两边A