叶中豪高中平面几何讲义.docVIP

高中平面几何 (上海 叶中豪) 焦点话题 三角形中的巧合点 Simson线及垂足三角形 圆幂与根轴 例题和习题 1．已知ABCD是圆内接四边形，IA、IB、IC、ID分别是△BCD、△ACD、△ABD、△ABC的内心。求证：IAIBICID是矩形。（Fuhrmann定理） 2．已知：△ABC中，AB＝AC，BE、CF是的高，H是垂心，过H作AB的平行线交AC于D，AH延长交外接圆于G点。求证：DF⊥FG。 3．已知△ABC中，AB＝AC，O、I分别是△ABC的外心和内心，点D在AB边上，且OD⊥BI。求证：ID∥AC。 4．已知圆内接四边形ABCD，有一半圆直径落在BC边上，且与AB、CD、AD都相切。求证：AB＋CD＝BC。 5．在△ABC左右两边上截取BE＝CF＝BC。O是△AEF的外心，I是△ABC的内心。求证：OI⊥BC。 6．已知：E、F在△ABC的AB、AC两边上，且BE＝CF＝BC，I是△ABC的内心，S是△ABC外接圆BC弧中点，T是△AEF外接圆EF弧中点。求证：SI＝IT。 7. 已知：△ABC ≌ △ADE，延长底边BC，ED交于P点， O是△PCD的外心。 求证：AO⊥BE。 8．已知D是△ABC的BC边上任一点，O、O1、O2分别是△ABC、△ABD、△ACD的外心。求证：A、O、O1、O2四点共圆。（Salmon定理） 9．已知ABCD是梯形（AD∥BC），E是腰AB上的动点，O1、O2分别是△ADE、△BCE的外心。求证：O1O2的长度不随E点的运动而变化。 10．已知：点D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，O1、O2、O3分别是△AEF、△BFD、△CDE的外心。求证：△O1O2O3∽△ABC。 11．已知：AM是△ABC的中线，P是△ABC 内一点，满足∠BAM＝∠CAP，O、O1、O2分别是△ABC、△ABP、△ACP的外心。求证：AO平分O1O2。 12．在△ABC中，D是BC边上一点，设O1、O2分别是△ABD、△ACD的外心，O′是经过A、O1、O2三点的圆之圆心。求证：O′D⊥BC的充要条件是：AD恰好经过△ABC的九点圆心。 13．过矩形ABCD的顶点作一条直线，分别与BA、BC的延长线交于E、F，点O是矩形的中心，且OE＝OF。求证：＝＝。 14．已知O是△ABC的垂心，点E、F分别在AB、BC边上，L、M、N分别是EF、BF、CE中点。求证：过L、M、N三点的圆与EF相切的充要条件是OE＝OF。 15．设⊙O1与⊙O2交于C、D，过D的直线交⊙O1与⊙O2于A、B，点P在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交与N，O为△ABC的外心。求证：MN⊥OD??P、Q、M、N四点共圆的充要条件。 16．已知E、F是△ABC两边AB、AC的中点，CM、BN是AB、AC边上的高，连线EF、MN相交于P点。又设O、H分别是△ABC的外心和垂心。联结AP、OH。求证：AP⊥OH。 17．已知E，F是∠AOB内的两点，并且满足∠AOE＝∠BOF。自E，F向OA作垂线，垂足分别为E1，F1；自E、F向OB作垂线，垂足分别为E2，F2。连接E1E2，F1F2，并设两线交于点P。求证：OP⊥EF。 18. 设△ABC中，E、F是AC、AB边上的任意点，O、O′分别是△ABC、△AEF的外心，P、Q是BE、CF上的点，满足＝＝。求证：OO′⊥ PQ。