3第2章平稳随机过程.pptVIP

第二章：平稳随机过程; 平稳随机过程是一类应用广泛的随机过程，在稳定系统中出现的随机过程都属于平稳随机过程。 例如：纺织过程中棉纱横截面积的变化；军舰在海浪中的颠簸；电阻的热噪声； 这些随机现象的特点是：统计特性不随时间的推移而变化。;严平稳过程的定义; 当产生随机现象的一切主要条件可以视为不随时间的推移而改变时,这类过程可以看作为平稳的.;均值 mX(t)=E[X(t)]; 均方值 φ X(t)=E[X2(t)]； 方差 D[X(t)]=E[X2(t)]-[E(X(t))]2 =φX(t)-mX2(t); 自相关函数 RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]； 协方差函数 Cov(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2);对于平稳随机过程X(t)的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ τ)，若令τ =-t1，则 F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1) (1 )因此平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。;(3) 对于平稳随机过程X(t)的二维分布 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ε,t2+ ε)，若令ε=-t1，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= τ ，则： F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;τ) ;(4)平稳过程的自相关函数是时间τ的单变量函数。;宽平稳过程的定义;严平稳过程和宽平稳过程的关系 （1）宽平稳过程不一定是严平稳过程 （2）严平稳过程只有当二阶矩存在时为宽平稳过程 （3）但是对于正态过程，其分布由均值和自相关函数完全确定，二者是等价的。;例题1： 设Y是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和X(t)=tY的平稳性。;例题3： 设S(t)是一周期为T的函数， θ在(0,T)上均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周期过程，讨论其平稳性。;例题4： 随机过程X(t)只取+I和 -I，且P{X(t)=+I} = P{X(t)= -I}=1/2，而正负号在( t, t+ τ)的变化次数N(t,t+τ)是随机的，且事件AK={N(t,t+τ)=k}的概率为;联合平稳过程;设{x(t),t∈T}为平稳过程，则其相关函数具有下列性质： （1） （2） （3） ; (4) 若X(t)是周期为T的周期函数，即 X(t)=X(t+T)，则RX(τ)=RX(τ+T)； (5) 若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当|τ|→∞时，X(t)与X(t+τ)相互独立，则; 已知平稳随机过程的自相关函数为: 求其均值和方差.;随机分析;处处收敛;以概率1收敛;依概率收敛;设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有; 二阶随机序??{Xn}相应的分布函数为{Fn(x)}，二阶矩随机变量X对应的分布函数为F(x).若对F(x)的每一个连续点处，有;收敛性概念;(1)若 ,则;(2)若 ,则;;均方导数;均方积分;定理6.8 设f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，则有 2. ;定理6.9 设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续，则 在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区间[a,b]上均方可微，且有Y’(t)=X(t)。 ;时间平均和集合平均概念;大数定理;例题： 随机过程X(t)=acos(wt+θ),a,w为常数，θ为(0,2π)上均匀分布的随机变量，试分析X(t)集合平均和时间平均值、相关函数和时间相关函数。;定义6.10 设{X(t),-∞t∞}是均方连续的平稳过程，若 以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若 以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。;定义6.11 如果均方连续的平稳过程{X(t),t∈T}的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。;定理6.10 设{X(t),-∞t∞}是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为;定理6.11 设{X(t),-∞t∞}是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为; 要严格验证平稳过程是否满足各态历经性是比较困难的,但是各态历经性定理的条件较宽,工程中所遇到的平稳过程大多数都能满足. 在实际应用中,只考虑 上的均方连续的平稳过程,