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§1.2数集和确界原理 授课章节：第一章 实数集与函数---§1.2数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。 教学要求：(1) 掌握邻域的概念； (2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。 教学难点：确界的定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。 引言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §1.1实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ 1、证明：对任何有：(1)；(2) . 2、证明：. 3、设，证明：若对任何正数有，则. 4、设，证明：存在有理数满足. [引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。 本节主要内容：1、先定义实数集R中的两类主要的数集——区间邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。 一 区间与邻域 1、 区间（用来表示变量的变化范围） 设且。 ，其中 2、邻域 联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？ （1）a的邻域：设，满足不等式的全体实数的集合称为点a的邻域，记作，或简记为，即 . （2）点a的空心邻域 . （3）a的右邻域和点a的空心右邻域 （4）点a的左邻域和点a的空心左邻域 （5）邻域，邻域，邻域 （其中M为充分大的正数）； 二 有界集与无界集 什么是“界”？ 1. 定义1（上、下界）： 设为中的一个数集。若存在数，使得一切都有，则称S为有上（下）界的数集。数称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集。 闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 也是有界数集. 若数集S不是有界集，则称S为无界集。 等都是无界数集, 集合 也是无界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯一； 2）上（下）界与S的关系如何？看下例： 例1 讨论数集的有界性。 分析：有界或无界上界、下界？下界显然有，如取；上界似乎无，但需要证明。 解：任取，显然有，所以有下界1；但无上界。证明如下：假设有上界M,则M0，按定义，对任意，都有，这是不可能的，如取则，且. 综上所述知：是有下界无上界的数集，因而是无界集。 例2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集。 [问题]：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一　，有无穷多个)。 三 确界与确界原理 1、定义 定义2（上确界）　设S是R中的一个数集，若数满足：(1) 对一切有（即是S的上界）; (2) 对任何，存在，使得（即是S的上界中最小的一个），则称数为数集S的上确界，记作 命题1 充要条件 1） 是上界， 2） 使得。 证明： 必要性，用反证法。设2）不成立，则使得，均有，与是上确界矛盾。 充分性， 用反证法。设不是的上确界，即是上界，但。令，由2），，使得，与是的上界矛盾。 定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数满足：（1）对一切有（即是S的下界）；（2）对任何，存在，使得（即是S的下界中最大的一个），则称数为数集S的下确界，记作. 命题2 的充要条件： 1）是S下界； 2）＞0，＜ 上确界与下确界统称为确界。 例3（1） 则 （2） 则 注 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 命题3：设数集有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的。 证明：设，且，则不妨设 有 对，使，矛盾。 例：?，?， 则有. 开区间与闭区间有相同的上确界与下确界 例4 设和是非空数集，且有 则有 . 例5 设和是非空数集. 若对和都有 则有 证明： 是的上界, 是的下界, 例6 和为非空数集, 试证明: 证明： 有或 由和分别是和的下界,有 或 即是数集的下界, 又的下界就是的下界,是的下界, 是的下界, 同理有 于是有. 综上, 有 . 2. 数集与确界的关系: 确界不