§最大公约数与辗转相除法.docVIP

§2 最大公约数与辗转相除法 一、有关概念 1、定义：的公因数， 及 2、说明：公因数不可能是0；1是必然的公因数； 0与非零数的公因数就是的因数； 两两互质与互质的关系； ； 若，则b?a 若，则 3、定理： 与相同的公因数。 = 4、求最大公因数的方法： 观察法； 短除法；辗转相除法。 二、辗转相除法 定理1：设是不全为0的整数，且，为整数 则（1）与有相同的公因数； （2） 定理2：设为正整数，则 推论：的公因数与的因数相同。 例1 证明:当时，为既约的真分数。 例2 求及 例3 某数除193余4，除1087余7，求符合要求的最大整数。 例4 某数除300，262，205余数相同，求这个数。 三、最大公因数的性质 1、为正整数 2、为的公因数 3、 4、设， ， 则 例5 设 ，求 例6设为正整数，且，， 求 练习：某商场两年销售额分别是36963元和59570元，单价是相同的整数元，求各年销售商品各多少件？ §3 整除的进一步性质与最小公倍数 一、整除的进一步性质 定理：设为任意的正整数，则 其中， 推论：设为任意两个不全为0的整数，则存在两个整数使得 成立，反之不成立。 例如 有 定理： 存在整数使得 例 求整数使 推论1：设为整数，且，则 （1）与有相同的公因数； （2） 推论2：若，且则 推论3：若是两组任意的整数，且， 则（）=1 二、最小公倍数 1、定义： 2、说明： ； ； 关系：公倍数与最小公倍数的关系； 最小公倍数与最大公因数的关系； 例如 1当时，则 2若都是正整数，且，则 3一个数除以36和48都余5，则这个数是 。 4， 5若，则 3、多个整数的最小公倍数的求法如何？ ， ， 则 §4 质数及算术基本定理 一、质数 1、定义： 2、说明：范围；数1；最小的质数是2 3、性质：、是大于1的整数，其大于1的最小的正因数必为质数； 、若为合数，则满足：； 、质数与整数的关系：或 若，则 二、算术的基本定理 1、定理1：设， 其中，， 为质数 并且，其中，，为质数 则， 推论1：若，则能唯一地表示为： ----叫标准分解式 其中， 为质数，且 推论2：：设 则 2、筛选法：（造质数表） 3、结论：质数的个数有无穷多个。 §5 函数及其在数论中的应用 1、定义： 2、性质：（1） （2） （3） （4）+ （5） （6）， （7）若都是正整数，则不大于而为的倍数的正整数的个数是 2、结论：（1）在的标准分解式中质因数的指数： （2） 例 数的末位有几个零？ 3、结论：贾宪数是整数； 4、结论：若是一个次整系数多项式，是的阶导数， 则是一个次的整系数多项式。 例 分数约简后的分母为 。 例 使为整数的最大正整数 。