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2.2直接证明与间接证明 学习目标： 1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法，了解间接证明的一种基本方法：反证法； 2．了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点. 重点： 根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用. 难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用. 知识点一：直接证明 1、综合法 （1）定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.　　 （2）综合法的的基本思路：执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论. （3）综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 　　　　 （已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论） 2、分析法　 （1）定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.　 （2）分析法的基本思路：执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. （3）分析法的思维框图：用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：　　　　　　　　　　　　（结论） （逐步寻找使结论成立的充分条件） （已知）　　 （4）分析法的格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。 知识点二：间接证明 反证法　　 （1）定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.　　 （2）反证法的特点：反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的. （3）反证法的基本思路：“假设——矛盾——肯定”　 　　　 ①分清命题的条件和结论． ②做出与命题结论相矛盾的假设． ③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果． ④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真． （4）用反证法证明命题“若则”，它的全部过程和逻辑根据可以表示为：　　　　　　 （5）反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件. 规律方法指导 1.用反证法证明数学命题的一般步骤： ①反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真； ②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立. 2.适合使用反证法的数学问题： ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等； ②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题. 经典例题透析 类型一：综合法 课本P85页两个例 已知，求证 省略 【变式1】求证：. 【变式2】在锐角三角形ABC中，求证：　　 类型二：分析法 2．求证： 思路点拨：由于本题所给的条件较少，且不等式中项都是根式的形式，因而用综合法证明比较困难.这时，可从结论出发，逐步反推，寻找使命题成立的充分条件；此外，若注意到，，也可用综合法证明.　　法一：分析法 要证成立， 只需证明， 两边平方得， 所以只需证明， 两边平方得，即，∵恒成立，∴原不等式得证. 法二：综合法 ∵，，　　，∴. ∴.∴.即原不等式成立. 总结升华： 1．在证明过程中，若使用综合法出现困难时，应及时调整思路，分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件的方法. 2．综合法写出的证明过程条理清晰，易于理解；但综合法的证题思路并不容易想到，因此，在一般的证题