泰州市姜堰区张甸中学2014届高三数学期中模拟试卷.docVIP

泰州市姜堰区张甸中学2014届高三数学期中模拟试卷 填空题：（本题 满分70分） 1、 函数的最小正周期 ． 2、 已知：A=，B=，则A∩B=_________满足：，则= 4、已知集合，集合，若，则实数 5、函数y＝的定义域为的终边经过点，且，则的值为 ． 7、已知实数满足约束条件 则的最大值为 ． 8、已知，则 ． 9、已知平面向量，，则与夹角的余弦值为若曲w ww.k s5u.c om线在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为 ．已知不等式x2－2x－30的解集为A，不等式x2＋x－60的解集是B，不等式x2＋ax＋b0的解集是A∩B，那么a＋b等于定义在R上函数对任意xR都有，当 时，，则(k∈Z*)在区间(2,3)上有零点，则k = ． 14、已知角A、B、C是三角形ABC的内角，分别是其对边长，向量 ，，，且则 。 二、解答题： 15、（本题14分）已知函数f(x)＝A(x＋φ)(A＞0，0＜φ＜x∈R的图象有一个最高点(1) 求f(x)的解析式；(2) 若α为角，且f(α)＝，求f(－α)的值． 是奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并证明； 17、（本题14分）已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且. (1）若等边三角形边长为6，且，求； (2）若，求实数的取值范围. 18、（本题16分）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。 （1）按下列要求写出函数关系式： ①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式； ②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式； （2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短 19、（本题16分）已知函数f(x)＝x2－mlnx. (1)若函数f(x)在(，＋∞)上是递增的，求实数m的取值范围； (2)当m＝2时，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值．已知函数同时满足：①不等式 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立．设数列的前项和为（1）求数列的通项公式； （2）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（为正整数），求数列的变号数；2，{（1，-1）}；3，42；4，1； 5，(1,＋∞) 9，. ；10，（1，0）－3； 13，4；15，。 二．解答题 15、解：(1) 由题意，A＝1，＝1，又0＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝.(6分)(2) 由题意，＝，(10分)所以f(－α)＝＝＝cos－sin ＝×－＝(14分)是奇函数，且定义域为R，所以， 又，知 当时，是奇函数 （2）函数在R上为减函数 证明：法一：由（Ⅰ）知， 令，则， ＞０， 即，函数在R上为减函数 法二：由（1）知， ， ， 即函数在R上为减函数． 17、解（1）当时，， . ∴ (2）设等边三角形的边长为，则 ， 即，∴，∴. 又，∴. 18、解：（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故 ，又OP＝， 所以， 所求函数关系式为 ②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB= 所求函数关系式为 （Ⅱ）选择函数模型①， 令0 得sin ，因为，所以=， 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。 19、解：若函数f(x)在(，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0在(，＋∞)上恒成立． 而f′(x)＝x－，即m≤x2在(，＋∞)上恒成立，即m≤. (2)当m＝2时，f′(x)＝x－＝， 令f′(x)＝0得x＝±， 当x[1，)时，f′(x)0，当x(，e)时，f′(x)0，故x＝是函数f(x)在[1，e]上唯一的极小值点，故f(x)min＝f()＝1－ln2，又f(1)＝，f(e)＝e2－2＝，故f(x)max＝. 20、解：（1）由的解集有且只有一个元素知 或 当时，函数在上递增，此时不满足条件 综上可知 （2）由条件可知 当时，令或 所以或 又时，也有 综上可得数列的变号数为3 B C D A O P