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微分方程 例1. 求微分方程 例2. 解初值问题 例4. 求下述微分方程的通解: 练习： 思 考 内容小结 作业 * * 第七章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 第三节 齐次方程 第四节 一阶线性微分方程 第六节 高阶线性微分方程 第七节 常系数齐次线性微分方程 第八节 常系数非齐次线性微分方程 第五节 可降阶的微分方程 （一）引言 （二）基本概念 第一节 微分方程的基本概念 函数 变量间的联系 实际问题 含有未知函数 及其导数的等式 求解 微分方程 例1 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点M(x,y)处的切线的斜率 为2x，求该曲线的方程 . 分析： 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程. 例 基 本 概 念 1微分方程: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 2微分方程的阶： ( n 阶显式微分方程) 一般地, n阶常微分方程的形式是 或 常微分方程 偏微分方程 未知函数 一元函数 多元函数 3微分方程的解: 例 特解: x=0,y=0 初始条件 微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 确定了通解中任意常数后的解. 通解： 通解 特解 代入微分方程使方程恒成立的函数. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 求微分方程满足初始条件的特解的问题. 4初值问题: 解 例2 验证函数 是微分方程 的解. 的特解 并求满足初始条件 所求特解为 §2 可分离变量的微分方程 一阶微分方程： 或 ---对称形式 可分离变量的微分方程. 转化 解分离变量方程 可分离变量方程 解法 积分 (显式)通解 隐式通解 初始条件 特解 设 y＝? (x) 是方程(1)的解, 则有恒等式 积 分 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 解 由题设条件 衰变规律 技巧 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 解法 1 分离变量 即 ( C 0 ) 解法 2 故有 积分 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 积分 求下列方程的通解 : 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为 1. 微分方程的概念 微分方程; 2. 可分离变量方程的求解方法: 说明: 通解不一定是方程的全部解 . 有解 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 例如, 方程 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 解; 阶; 通解; 特解 y = – x 及 y = C * * * *