可分离变量型微分方程.pptVIP

* * 5.2 可分离变量型微分方程 　　本节介绍可分离变量型及可化为可分离变量型的一阶微分方程的解法。对于这一类方程的解法是用积分的方法，这种方法是简单的、直接的，也是求解微分方程的最基本的方法之一，很多方程的求解都要归结到这种方法。 5.2.1 可分离变量型方程 一阶微分方程的一般形式为 变量型.形式为 就式（5.7）求解方程. 设 为连续函数. 作为上式积分的结果或为y的关于x的显函数形式，或为x，y的隐函数形式.这就是方程(5.7)的通解. 称为分离变量. 例1 求方程 的通解. 解 积分上式，有 得隐式通解 通解亦可写成 例2 陨石质量问题.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦所产生的高热是陨石的质量不断减少，试验表明，陨石减少的速度与陨石的表面积成正比，假设有质量均匀的球体陨石在t0时刻到达地面，此时该陨石的质量为m0，试求出陨石的质量m关于时间t的函数表达式 . 解 根据题设 上式方程等价于 对上式两边积分，有 有 即 两端再积分，有 两端同除以Q(y), 解 分离变量，有 两边积分，得 通解为 5.2.2　可化为可分离变量的方程 称其为k次齐次函数． 例如， 称(5.9)为齐次方程． 注意　不要将齐次方程与线性齐次方程相混淆． (5.9) 在式(5.9)中引进新的未知函数 将(1)，(2)代入方程(5.9)，有 即 分离变量，有 两边积分，有 例4 求解下面初值问题： 解 方程可写成 方程是齐次方程． *