变化率问题导数的概念.pptVIP

　　第一章 导数及其应用 本 章 概 览 导数是高等数学的基础，是微积分的核心概念之一．它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、增长率以及用料最省、利润最大等实际问题的最有力的工具．定积分也是微积分的核心概念之一，自然科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积、变力做功等都可以归结为定积分的问题． 本章中，利用丰富的背景和大量实例，学习导数和定积分的基本概念与思想方法； 通过导数研究了函数的性质(单调性、极值和最值)，解决了生活中的最优化问题等实践活动，并通过应用定积分解决一些简单的几何和物理问题，初步感受导数和定积分在解决数学问题与实际问题中的作用；通过微积分基本定理的学习，初步体会了导数与定积分之间的内在联系． 本章的重点有三个：一是利用导数的定义求简单函数的导数，能运用导数公式、运算法则求导数；二是利用导数判断函数的单调性，求函数的极大(小)值和最大(小)值；三是利用导数的方法解决实际应用问题．本章的难点有两个：一是对导数概念的理解、导数方法的应用；二是对定积分的定义、思想方法的认识. 1.1.1～1.1.2　变化率问题　导数的概念 1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程． 2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数． 3.体会导数的思想及其内涵，并能运用. 1.平均变化率 3．函数f(x)在x＝x0处的导数 自我校对： 1.函数y＝f(x)的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为 (　　) A．f(x0＋Δx)　　　　B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 解析：分别写出x＝x0和x＝x0＋Δx对应的函数值f(x0)和f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D. 答案：D 2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 (　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 答案：B 3．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为 (　　) 答案：A 答案：3－Δx 5．求函数y＝x2在点x＝1处的导数． (1)函数f(x)在x1，x2处有定义； (2)x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负； (3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)； (4)平均变化率可正可负，也可为零． 2．根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 3．对导数概念的理解 某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含义： (3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义． [解]　f(x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×x＋3×x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. (2)当x1＝4，Δx＝0.1时，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， [点拨]　求函数f(x)的平均变化率的步骤是： (1)根据x1和x2值写出自变量的增量Δx； (2)由Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)计算函数增量； 例2　　一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间． (1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在t＝1时的瞬时速度． [分析]　通常以某一具体函数为载体，利用求导的“三步曲”，进行计算． [解]　解法一：(导数定义法) ∴f′(2)＝y′|x＝2＝－1. [点拨]　根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法． [解]　解法一：(导数定义法) 例4　设函数f(x)在点x0处可导，试求下列各极限的值． [分析]　给出某抽象函数在某点x0处可导的条件，求另一抽象函数在某点x0处的导数，或求另一抽象函数在某点x0处的极限． [点拨]　在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择与之相对应的形式．利用函数f(x)在x＝x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题． 只有当函数在某点的左导数、右导数同时存在并且相等时，才能说函数在该点处的导数存在，即函数在该点可导． [点拨]　判断f(x)