变化率导数概念.pptVIP

瞬时速度 作业：见练案。 * 3.1.1变化率问题 高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 创设情景 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关： 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 播放 暂停 停止 探究过程：如图是函数h(t)= 4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， 所以， 虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． t h O 在例2中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在0s到0.5s 内的 平均速度为： 在例1中：对于函数 当空气容量从 增加到 时, 气球的平均膨胀率为： 一般地，函数f（x）在区间 上的平均变化率为： 所以，平均变化率可以表示为： 2、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0 3、若函数f (x)为常函数时， △ y =0 理解 4、变式: 观察函数f(x)的图象平均变化率 表示什么? x y o B x2 f (x2) A x1 f (x1) f (x2)-f (x1) x2-x1 直线AB的斜率 y=f (x) 思考 直线AB的斜率 A B 思考 由上面的讨论可知：函数 曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。 例 1 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ； (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。 (1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2 (2)解： △y=f (x+△x)- f (x) =2△x ·x+(△x )2 题型一：求函数的平均变化率 练习 1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A . 3 B . 3Δx-(Δx)2 C . 3-(Δx)2 D . 3-Δx D 3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. A △x+2x0 比如，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10 求ｔ＝2时的瞬时速度？ 我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当△ｔ＜0时，在2之前； 当△ｔ＞0时，在2之后。 2 h t o △ｔ＜0时 2＋△ｔ △ｔ＞0时 2＋△ｔ 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度。那么，如何求运动员的瞬时速度呢？ 问题 3 △t0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内 △t0时, 在[2, 2 +△t ]这段时内 当△t = – 0.01时, 当△t = 0.01时, 当△t = – 0.001时, 当△t =0.001时, 当△t = –0.0001时, 当△t =0.0001时, △t = – 0.00001, △t = 0.00001, △t = – 0.000001, △t =0.000001, …… …… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 思考： 当趋近于0时，平均速度又怎样的变化势？ 结论：当趋近于0时，即无论