培优训练题1.docxVIP

1．（本小题满分13分）如图，分别过椭圆：左右焦点、的动直线相交于点，与椭圆分别交于不同四点, 直线的斜率、、、满足．已知当轴重合时，，．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．2．已知椭圆：（）过点（2,0），且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线．求直线是否恒过定点，若果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。3．（本小题满分13分）如图，、为椭圆的左、右焦点，、 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，．若在椭圆上，则点称为点的一个“好点”．直线与椭圆交于、两点， 、两点的“好点”分别为、，已知以为直径的圆经过坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．4．（本小题满分13分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆的一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆过点，直线与椭圆交于两个不同点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线的斜率为，且不过点，设直线，的斜率分别为，求证：为定值；（Ⅲ）若直线过点，为椭圆的另一个焦点，求面积的最大值．5．（本小题满分14分）已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于两点.（1）若轴上一点满足，求直线斜率的值；（2）是否存在这样的直线，使的最大值为（其中为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由. 6．（本题满分14分）已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称，并说明理由．7．（本小题满分13分）已知经过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，若存在一定点，使得无论怎样运动，总有直线的斜率与的斜率互为相反数．（1）求与的值；（2）对于椭圆：，经过它左焦点的直线与椭圆交于、两点，是否存在定点，使得无论怎样运动，都有？若存在，求出坐标；若不存在，说明理由．8．（本小题满分12分）如图所示，椭圆：，其中，焦距为，过点的直线与椭圆交于点、，点在之间，又点，的中点横坐标为，且．（1）求椭圆的标准方程 ； （2）求实数的值．9．已知抛物线（）的准线与轴交于点．（1）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；（2）是否存在过焦点的直线（直线与抛物线交于点，），使得三角形的面积？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．10．已知直线经过椭圆（）的左顶点和上顶点．椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求线段长度的最小值；（Ⅲ）当线段的长度最小时，椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数；若不存在，请说明理由．11．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（本小题满分13分）已知椭圆C:（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（－，0）、F2（，0）.点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点N的坐标为（3，2），点P的坐标为（m，n）（m≠3）.过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点，设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3，若k1＋k3＝2k2，试求m，n满足的关系式.参考答案1．（1）（2）【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．试题解析：（1）当与轴重合时，，即，∴ 垂直于轴，得，，得，， ∴ 椭圆E的方程为．（2）焦点、坐标分别为（—1，0）、（1，0）．当直线或斜率不存在时，P点坐标为（—1，0）或（1，0）．当直线、斜率存在时，设斜率分别为，，设，，由得：，∴ ，．， 同理．∵， ∴，即．由题意知， ∴．设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为（—1，0）或（1，0）也满足此方程，∴点在椭圆上， 11分存在点M（0,-1）和点N（0,1），使得为定值，定值为 ．考点：（1）椭圆的方程； （