培优训练题6.docxVIP

1．已知函数在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．（1）求a的取值范围；（2）求函数在[0，+∞）上的最大值；（3）设a＞1，b＞0，求证：．2．已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，且使成立（为直线外的一点）？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．3．已知函数，（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若k为正常数，设，求函数的最小值；（Ⅲ）若，证明：．4．已知偶函数（）在点处的切线与直线垂直，函数．（Ⅰ）求函数的解析式．（Ⅱ）当时，求函数的单调区间和极值点；（Ⅲ）证明：对于任意实数x，不等式恒成立．（其中e＝2．71828…是自然对数的底数）5．已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）已知，对于函数图象上任意不同的两点，其中，直线的斜率为，记，若求证6．如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．AEF7．已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；（Ⅲ）若正实数满足，证明.8．已知抛物线的焦点为，过点F作直线l交抛物线C于A,B两点.椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率.（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（Ⅱ）经过A,B两点分别作抛物线C的切线，切线相交于点M.证明；（Ⅲ）椭圆E上是否存在一点，经过点作抛物线C的两条切线（为切点），使得直线过点F？若存在，求出抛物线C与切线所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.9．已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．10．已知函数，其中（Ⅰ）若函数、存在相同的零点，求的值；（Ⅱ）若存在两个正整数、，当时，有与同时成立，求的最大值及取最大值时的取值范围.11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A、B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若在椭圆上的点处的切线方程是．求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问否存在实数，使得 成立，若成立求出的值，若不存在，请说明理由12．已知函数（a为常数），曲线y＝f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为－1．（1）求a的值及函数f（x）的单调区间；（2）证明：当时，；（3）证明：当时，．参考答案1．（1）a≥1；（2）0；（3）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求函数的单调区间和最值，同时考查不等式的恒成立问题和不等式的证明，注意运用单调性，属于中档题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，求出函数的导数，由函数在（1，+∞）上是增函数，所以在（1，+∞）上恒成立，运用参数分离，求得最值即可；第二问，求得g（x）的导数，求得单调性，即可得到最小值；第三问，由（1）知在（1，+∞）上是增函数，所以，由第（2）问可知，化简即可得证．试题解析：（1）的导数为，因为函数在（1，+∞）上是增函数，所以在（1，+∞）上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，所以只需，又因为a＞0，所以a≥1；（2）因为x∈[0，+∞），所以所以在[0，+∞）上单调递减，所以在[0，+∞）上的最大值为．（3）证明：因为a＞1，b＞0，所以，由（1）知在（1，+∞）上是增函数，所以，即，化简得，又因为，由第（2）问可知，即，综上得证．考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．2．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：(Ⅰ)此题为待定系数法求椭圆方程的系数的问题，首先根据抛物线的焦点确定顶点，即参数，根据离心率确定，又根据，确定参数，代入方程；（Ⅱ）对于过定点的直线，一般要考虑两种情况，斜率不存在，和斜率存在两种情况，当斜率不存在时，，计算的坐标，判定是否满足条件，当斜率存在时，设直线与椭圆方程联立，根据韦达定理，由,代入坐标运算，根据坐标关系消去坐标参数，看是否存在参数．试题解析：解：（Ⅰ）由题意得：由，解得，，由得：，所以椭圆方程是（Ⅱ）, ①当直线的斜率不存在时，，,易知符合条件，此时直线方程是当直线的斜率存在时，设直线的方程是，代入得由，解得设，得 ② ③由①得 ④由上式消去得：，即矛盾综上，符合条件的直线是考点：1．椭圆的标准方程；2．直线与椭圆联立的综合问题．3．（Ⅰ） 的单调递增区间是，单调递减区间是；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析．【解析】试题分析：利用导数考察函数的综合问题