培优训练题3.docxVIP

1．设正项数列{an}（n≥5）对任意正整数k（k≥3）恒满足：，且．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在整数，使得对于任意正整数n恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。（注：）2．已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设,是数列的前项和，证明．3．已知数列满足：，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）（ⅰ）证明：当时，；（ⅱ）若正整数满足，求的值．4．已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.5． 已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.6．已知数列的前项和为，首项，且对于任意都有．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，且数列的前项之和为，求证：7．数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数，．（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和；（3）求证：对且恒有．8．设数列满足：①； ②所有项； ③．设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（Ⅰ）若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；（Ⅱ）设，求数列的伴随数列的前30项之和；（Ⅲ）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和． 参考答案1．（1）an=n （2）【解析】试题分析：（1）本题中求通项公式时首先由数列前几项猜测数列的通项公式，然后用数学归纳法证明对于任意正整数都成立（2）中首先由求得的值，再由数学归纳法证明恒成立试题解析：（1）当k=3时，a1=1；当k=4时，a2=2；当k=5时，a3=3； 猜想：an=n． 2分①当n=1时，a1=1，成立；②假设当n=k时结论成立，即有ak=k， 则当n=k+1时，由于 所以而，ak=k，得ak+1=k+1，所以当n=k+1时，结论成立；由①②可知： an=n． 8分（2）若存在整数，使得对于任意正整数n恒成立，则当n=1，n=2时有13=1，，得。猜想， 10分①当n=1时，成立；②假设当n=k时，结论成立，，则当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论成立；由①②可知：，使得命题成立。 16分考点：1．数学归纳法；2．归纳推理2．（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据题意，构造数列为等比数列，求其通项，进而求出；（2）利用错位相减法求，进而求出，作差证明数列为递减数列，可求得最值，即得的范围；（3）求出，利用裂项抵消法求和，进而证明不等式成立．试题解析：（1）由已知得，其中所以数列是公比为的等比数列，首项，所以 4分由（1）知所以所以 7分因此，所以，当即，即所以是最大项所以． ．9分（3） 12分又令，显然在时单调递减，所以故而 13分考点：1．数列的递推公式；2．错位相减法；3．裂项抵消法．3．（Ⅰ）1；（Ⅱ）2014．【解析】试题分析：（Ⅰ）∵ ∴，∴ ．（Ⅱ）（ⅰ）∵， ①∴，． ②由①②得 ． ∴，即当时． （ⅱ）由，∵，，，．．．．,，∴．则，∴．考点：1．数列的递推公式，2．累加法求数列的前项和．4．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知，从而得证；（2）由和得，，从而可得，即可得证.试题解析：（1）由题意得，，即，，由得，由得，，即；（2）由题意得，∴①，由和得，，∴，因此②，由①②得.考点：数列与不等式结合综合题.5．（1）（2）详见解析（3）【解析】解：（1）由，得，所以是首项为，公差为的等差数列，故的通项公式为，.证明：（2）由，得.所以为常数列，，即.因为，，所以，即.故的第项是最大项.解：（3）因为，所以，当时，.当时，，符合上式.所以.因为，所以，.①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；②当时，的最大值为，最小值为，而；③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.综上，的取值范围是.考点：等差数列，数列单调性6．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）由，可得当时，，两式相减可得，所以，即，然后用累乘方法可得，然后得到；（Ⅱ）结合（Ⅰ）然后运用隔项相消方法求得．试题解析：（Ⅰ）解法一：由①可得当时，②，由①-②可得，，所以，即当时，，所以，将上面各式两边分别相乘得，，即（），又，所以（），此结果也满足，故对任意都成立。 7分解法二：由及可得，即，当时，（此式也适合），对任意正整数均有，当时，（此式也适合），故。 7分（Ⅱ）依题意可得 12分考点：递推数列、数列与不等式7．（1