培优训练题2.docxVIP

1．设函数R)，函数的导数记为.（1）若，求a、b、c的值； （2）在（1）的条件下，记，求证：F(1)+ F(2)+ F(3)+…+ F(n)N*);（3）设关于x的方程=0的两个实数根为α、β，且1αβ2.试问：是否存在正整数n0，使得？说明理由.2．已知函数 （是自然对数的底数，）.（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）证明对一切恒成立.3．设函数，其中（I）当时,判断函数在定义域上的单调性；(II)求函数的极值点；(III)证明对任意的正整数n，不等式都成立.4． 设函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极大值点； （Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.5． 已知函数f（x）＝x－xlnx ， ，其中表示函数f（x）在x＝a处的导数，a为正常数． （1）求g（x）的单调区间； （2）对任意的正实数，且，证明： （3）对任意的6． 设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当时，求函数的极值；（Ⅱ）若在上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设，求证：（其中e是自然对数的底数）．7．已知函数，（其中为自然对数的底数，常数）.（1）若对任意，恒成立，求正实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，当取最大值时，试讨论函数在区间上的单调性；（3）求证：对任意的，不等式成立. 8．已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对定义域每的任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：对于任意正整数，不等式恒成立。参考答案1．略【解析】由已知可得…………4分 当n=1 时,, 当n=2 时, …………7分当时， 所以F(1)+ F(2)+ F(3)+…+ F(n) F(1)+F(2)+…+ ， 所以F(1)+ F(2)+ F(3)+…+ F(n) N*). ………………………10分 （3）根据题设，可令 =，或，所以存在n0=1或2， 使……14分 2．（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减（2）的范围是（3）证明见解析【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。（1）因为函数 ，利用导数，判定导数的符号与函数单调性的关系得到结论。（2）由题意得当时，恒成立。然后分离参数的思想得到参数a的取值范围。（3）令得，，所以在上为减函数，对于任意，都有，故有即从而得证。解：（1）当时，，由，……………………………………………..4分所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减。（2），由题意得当时，恒成立。令，有，得，所以的范围是…………………………………………8分（3）令得，，所以在上为减函数，对于任意，都有，故有即即． ………12分3．（1）在定义域是增函数；（2）见解析；（3）见解析.【解析】(1)先确定函数的定义域，求得在定义域上是增函数；（2）由（1）得在定义域上是增函数，不存在极值点；有两个根，判断两个根是否在定义域内，判定单调性即得到函数的极值；（3）令构造函数，判断单调性可得，令，就可以证得结论。 4．（Ⅰ）单调增区间为，单调减区间为，极大值点（Ⅱ）.（Ⅲ）在区间上不存在使得成立的（）个正数…. 【解析】（1）当时，求出的导函数，令，列表研究其单调性和极值；（2）只要求出的最大值小于即可，求出函数的导数，研究单调性可得到的最大值就是其极大值，解不等式得的取值范围；（3）时，，，要研究的单调性，记，其中.，即在上为增函数.又，所以，对任意的，总有，.。故不存在。解：（Ⅰ）当时，，令得到，列表如下：＋０－极大值所以的单调增区间为，单调减区间为极大值点（Ⅱ），，. 令，则. 当时，；当时，. 故为函数的唯一极大值点，所以的最大值为=.由题意有，解得. 所以的取值范围为.（Ⅲ）当时，. 记，其中.∵当时，，∴在上为增函数，即在上为增函数.又，所以，对任意的，总有.所以，又因为，所以.故在区间上不存在使得成立的（）个正数…. 5．见解析.【解析】第一问中利用导数的，，然后判定的单调性。第二问中，对任意的正实数，且，取，则，由（1）得，所以，同理取，则，由（1）得，所以，，综合克的结论。第三问中，对k=1,2,3…n-2，令，则，显然1xx+k，，所以，利用放缩法证明。解：（1），，． …………………2分所以，时，，单调递增； 时，，单调递减．所以，的单调递增区间为，单调递减区间为． ………4分（2）（法1）对任意的正实数，且，取，则，由（1）得，所以，……①； ………………………6分取，则，由（1）得，所以，……②．综合①②，得结论． ………………………8分（3）对k=1,2,