第五节函数的奇偶性和周期性.pptVIP

* 第五节　函数的奇偶性和周期性 基础梳理 1.定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意x∈A，都有________，则称函数y=f(x)为奇函数；如果对于任意x∈A，都有________，则称函数y=f(x)为偶函数． 2. 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象_____________；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象______________． 3. 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数________叫做这个函数的周期，所有周期中存在最小的一个正数叫做f(x)的最小正周期． f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 关于原点对称 关于y轴对称 T f(x+T)=f(x) 4. 奇(偶)函数有关定义的等价形式： f(-x)=±f(x)?f(-x)±f(x)=________ ? =________(f(x)≠0)． 5. 奇(偶)函数有关的结论 (1)若一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=________. (2)若函数y=f(x)的定义域关于原点对称，则 f(x)+f(-x)为________函数； f(x)-f(-x)为________函数； f(x)×f(-x)为________函数． 0 ±1 0 偶 奇 偶 6. 函数周期性的相关结论 (1)设a是非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列 条件之一成立： ①f(x+a)=-f(x)；②f(x+a)= ；③f(x+a)=- ； ④f(x+a)=f(x-a)，则f(x)是周期函数，2|a|是它的一个周期． (以上各式中分母均不为零) (2)函数图象的对称性：若f(x+a)=f(b-x)(a、b为常数)在定 义域上恒成立，则f(x)的图象关于直线________对称． 特别地，若f(a+x)=f(a-x)，则函数f(x)关于直线________ 对称，________时，f(x)为偶函数． 　a=0 x=a 基础达标 1. (必修1P39例6改编)有以下函数： ①f(x)=x2-1；②f(x)=x3-2x；③f(x)=2|x|-1； ④f(x)=(x-1)2；⑤f(x)=x4，x∈[-2,2)；⑥f(x)= . 其中，奇函数有________，偶函数有________． (填序号) 解析：验证f(-x)与f(x)的关系，可知②⑥为奇函数， ①③为偶函数，⑤的定义域不关于原点对称， ④不满足奇、偶函数定义，故④⑤为非奇非偶函数． ②⑥ ①③ 2. (2010泰州调研)设f(x)是定义在R上的奇函数， 且f(3)+f(-2)=2，则f(2)-f(3)=________. 3. 已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数， 那么a+b=________. 解析：∵f(x)为R上的奇函数， ∴f(2)-f(3)=-[-f(2)+f(3)]=-[f(-2)+f(3)]=-2. -2 解析：定义域关于原点对称，故a-1+2a=0，则a= ， 又f(x)为偶函数，故b=0，∴a+b= 4. 下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)． 其中正确的命题序号为________． ③ 　4.解析：①错误，比如f(x)= ；②错误，比如f(x)= ； ④错误，如f(x)=0，x∈[-1,1]． 5. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)， 当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(2 011)=________. 解析：∵f(x+4)=f(x)， ∴f(x)的最小正周期为4， 又f(x)为奇函数，∴f(2 011)=f(-1+2 012)=f(-1)=-f(1)=-2. -2　 经典例题 题型一　判断函数的奇偶性 【例1】判断下列各函数的奇偶性． 分析： (1)考虑定义域；(2)利用定义域先化简函数；(3)分段讨论． 解：(1)由 ≥0，得定义域为[-1,1)， 不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数． (2)由 得定义域为(-1,0)∪(0,1)． 这时 ， ∵ ，∴f(x)为 偶函数． (3)当x-1时，f(x)=x+2，-x1， ∴f(-x)=-(-x)