第八单元 代数结构.pptVIP

第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 第8章 代数结构 8.8 同态与同构 定义8.30 设f是由A，*到B，△的一个同态，如果f是从A 到B的一个双射，则f称为同构映射，并称A，*到B，△是同 构的，记作A≌B 。 例8．29 设A是一个实数集合，在A上定义一个普通加法运算， 构成代数系统，即A，+，现在有另一个集合B={y|y=kx， x∈A，k是某一实数}，B，+也是一个代数系统。 现在，在两个代数系统之间建立一个映射f，f（x）=kx，x∈A， 可以知道f是双射，因此，A，+和B，+是同构的 8.8 同态与同构 定义8.31 设A，*是一个代数系统，如果f是由A，*到A， *的同态，则称f为自同态。如果g是由A，*到A，*的同构， 则称g为自同构。 定理8.29 设G，*是一个代数系统，对于集合G,其代数系统之 间的同构关系是等价关系。 8.8 同态与同构 定理8.30 设f是从代数系统A，*到代数系统B，△的同态映 射。如果A，*是群，那么在f作用下，同态象f(A)，△也是 群。 定义8.32 设f是由群A，*到群B，△的同态映射，e‘是B中 的么元，记ker(f)={x|x∈A且f（x）=e‘}，称Ker(f)为同态映射f的 核，简称f的同态核。 定理8.31 设f是由群A，*到群B，△的同态映射，则f的同 态核K是A的子群。 * 本章学习目标 在计算机科学里，很多的知识和代数结构的理论有关系，比如：加法器、纠正码、形式语言和推理机等等，因此，学好该部分内容，为学习其他计算机课程打下了基础。通过本章学习，读者应该掌握以下内容： ?????? （1） 二元运算的相关概念和性质 （2） 半群和独异点的概念及其判定 （3） 群和子群的概念及其性质 （4） 阿贝尔群和循环群的概念和性质 （5）置换群和陪集的概念相关定理 （6）同态与同构的概念及其判定 8.1 二元运算及其性质 8.2 代数系统 8.3 半群和独异点 8.4 群与子群 8.5 阿贝尔群和循环群 8.6 置换群与伯恩赛德定理 8.7 陪集和拉格朗日定理 8.8 同态与同构 8.1 二元运算及其性质 定义8.1 对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一 个n元运算。如果BA，则称该n元运算是封闭的。 定义8.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的 x，y∈A，都有x*y∈A，则称二元运算*在A上是封闭的。 定义8.3 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x， y∈A，都有x*y=y*x,则称二元运算*在A上是可交换的。 8.1 二元运算及其性质 定义8.4 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的 x，y，z∈A，都有（x*y）*z=x*（y*z），则称该二元运算*是 可结合的。 定义8.5 设 *、△是定义在集合A上的两个二元运算，如果 对于任意的a，b，c∈A，都有 a*（b△c）=（a*b）△（a*c） （b△c）*a=（b*a）△（c*a） 则称运算 * 对于运算△是可分配的。 8.1 二元运算及其性质 定义8.6 设*，#是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如 果对于任意的a，b∈A，都有 a*（a#b）=a a#（a*b）=a 则称运算*和运算#满足吸收律。 8.1 二元运算及其性质 定义8.7 设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个 元素el∈A，对于任意的元素x∈A，都有el*x=x，则称el为A中 关于运算 * 的左么元；如果有一个元素er∈A，对于任意的元 素x∈A都有x*er=x，则称er为A中关于运算 * 的右么元；如果A 中的某一个元素e，它既是左么元又是右么元