第五单元 大数定律及中心极限定理.pptVIP

第五章 大数定律及中心极限定理 问题的提出 §1 大数定律 例 设在每次试验中,事件A发生的概率为1/4. (1)300次重复独立试验,以X记A发生的次数.用切比雪夫不等式估计X与E(X)的偏差不大于50的概率; (2)问是否可用0.925的概率,确信在1000次试验中, A发生的次数在200到300之间. 解:(1)由X~b(300,1/4)知,E(X)=np=75, D(X)= npq =300*1/4*3/4=225/4.所以所求概率为: 伯努利定理说明,当试验在不变的条件下重复进行很多次时,随机事件的频率在它的概率附近摆动. 如果事件A的概率很小, 则正如伯努利定理所指出的,事件A的频率也是很少的,或者说,事件A很少发生.例如:设P(A)=0.001,则在1000次试验中只能希望事件A发生一次. 小概率事件的实际不可能性原理: 概率很小的随机事件在个别试验中是不可能发生的. 在实际生活中, 常常忽略那些概率很小的事件发生的可能性;如:虽然人骑自行车在公路上行驶时被汽车撞伤的概率不等于零,但人们还是坦然地在公路上骑自行车. 问:随机事件的概率究竟应怎样小,才可以看作实际上不可能发生的? 概率论中不可能给出答案. 在实际问题中,必须考虑随机事件的本质. 例如,假设自动车机床加工一批零件出现废品的概率等于0.01, 如果零件的重要性不大而价格又低,则完全可以允许不必对全部加工出来的零件进行了全面检查;这就是说,可以忽略一百个零件中出现一个废品的可能性.但是,如果制造一批降落伞出现废品(例如:在跳伞时降落伞不能张开)的概率等0.01,显然,在这种情况下忽略百分之一的废品是绝对不允许的,因为直接危及百分之一的跳伞者的生命. 最后强调一点: 所谓小概率事件事件的实际不可能性原理仅仅适用于个别的或次数极少的试验,当试验次数较多时就不适用了.例如:工厂生产某种产品时,出现废品的概率为0.0001,也就是说,一万个产品只有一个废品;检查产品质量时,如果只从其中任取一个产品来检查,则取出废品的概率为0.0001,显然是很小的,因而几乎可以肯定不会发现废品;但是,如果逐一检查每个产品,则总有一次会发现这个废品. §2 中心极限定理 在随机变量的一切可能分布中, 正态分布占有很重要的地位.实践中遇到的大量的随机变量都是服从正态分布的. 问:为什么正态分布如此广泛地存在,从而在概率论中占有如此重要的地位?应该如何解释大量随机现象中的这一客观规律? 在进行某种观测(试验)时,不可避免地有许多地引起观测误差的随机因素影响着观测结果.其中,有些误差是由观测仪器精度引起的,有些误差是由观测者自身引起的,等等. 这些因素中的每个都可能使观测结果产生很小的误差,然而由于所有这些误差共同影响观测结果,因此,我们得到的观测值是一个包含”总误差”的结果. 因此,可以将观测得到的误差看成一个随机变量 ,它是很多数值微小的独立随机变量的总和,按中心极限定理,这个随机变量应服从正态分布. 此外,还有很多类似的例子,自动车床加工的零件尺寸的偏差,射击时击中点与目标中心的偏差,一个城市的耗电量(是大量用户耗电量的总和)等. 习题1 据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 例 试分别用切比雪夫不等式和中心极限定理确定, 当掷均匀铜板时,需投多少次,才能保证得到正面出现的频率在0.4及0.6之间的概率不少于90%. 例 试分别用切比雪夫不等式和中心极限定理确定, 当掷均匀铜板时,需投多少次,才能保证得到正面出现的频率在0.4及0.6之间的概率不少于90%. 中心极限定理的意义 　　 我们知道，正态分布是现实生活中使用最多、最广泛、最重要的一种分布。许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布。中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐近地服从正态分布。为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据。 大数定律与中心极限定理的异同 　　它们的相同点是，都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要的意义。所不同的是，大数定律研究的是，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限。 解: 设Xi表示第i只元件的寿命,依题意可知X1, X2, …, X16相互独且服从均值为