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* 第二章 解析函数 数学物理方法—— 2.1 可导与可微 定义 设单值函数 ， ，满足 称 f(z) 在 z 点可导，此极限称为 f(z) 在点 z 的导数， 记作 。 若 在点 z 的改变量 可写为 ，其中 ，则称 在 z 点可微， 称为 w 在 z 点的微分，记作 。 定义 定理 w = f(z) 在 z 点可导，则一定在该点可微，反之亦然， 且 。 函数可导的必要条件——柯西-黎曼方程（C-R 条件） 若函数 f(z) 在 z = x + iy 点可导， 以任意方式→0， 同样值。 特殊路经一： （平行于实轴） 函数按虚部实部分开： 极限按虚部实部分开： z II x y I 特殊路经二： （平行于虚轴） 函数按虚部实部分开： 极限按虚部实部分开： 分子分母同乘以 -i ： ——C-R条件，必要而非充分条件。 则有： 定理 若 u、v 的偏导数存在且连续，C-R 条件是函数可导的充要条件。 证明 (1)必要性：由推理过程已证。 (2)充分性： ∵ 存在且连续， ∴ 和 可微， 即 ∵高阶无穷小量 有 ∴ （根据 C-R 条件） ∴ f(z) 可导。 导数的几何意义 2.2 解析函数 区域 G 内每一点都可导的函数称为 G 内的解析函数。 [ ，处处可导， f(z) 为 G 的解析函数。] 定义 解析函数 柯西-黎曼方程 ，u、v 不是相互独立的， 例题 解 已知 ，求 。 ?涉及到的高数知识： ① ， ② 反函数的导数 = (直接函数的导数)-1 ③ ∵ 分子提取 后 且 又∵ C-R 方程 ， ∴ 当 ，并取积分路经为 时，得 代入 和 有 令 已知 ，求 。 例题 解 方法一： 当 ，并取积分路经为 时，得 方法二： 将 ， 代入 而 所以 若符合以下三条之一： ① f(z) 在 z0 处无定义； ② f(z) 在 z0 处不可导； ③ f(z) 在 z0 处不解析， 则 z0 是 f(z) 的奇点。 解析函数的实部和虚部的二阶导数一定存在并且连续。（以后证明） 定义 定理 即满足 u，v 二维拉普拉斯方程 u，v 都是调和函数。 2.3 初等函数 ① 幂函数 当 时， 在复平面 C 上解析， 为奇点； 当 时， 在 上（包括∞点）处处解析。 ② 指数函数 可知 在复平面 C 上解析， 为奇点。 周期为 ③ 三角函数 复指数函数 ， ④ 双曲函数 与三角函数是互化的。 周期： 导数公式： 由于 与 在复平面 C 上解析，故 在复平面 C 上解析，周期为 ，模可以大于1。 实三角函数的各种恒等式对复三角函数仍然成立。 例题 求证： 证明 ⑤ 对数函数 （指数函数的反函数） 2.4 多值函数 根式函数 令 ，w2+a 是 的反函数，故