第二章第三节《函数的奇偶性与周期性》文.docVIP

第三节　函数的奇偶性与周期性 知识梳理 一、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及简单性质.2.若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，反之，也成立． 3．若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)＝0. 4．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式． 在定义域关于原点对称的情况下， (1)若f (x)－f(－x)＝0或＝1[f(－x)≠0]，则f(x)为偶函数； (2)若f (x)＋f(－x)＝0或＝－1[f(－x)≠0]，则f(x)为奇函数． 5．设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇． 二、函数的周期性 1．周期函数定义：若T为非零常数，对于定义域内的任意x，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则f(x)叫做________，T叫做这个函数的________． 2．周期函数的性质：(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是它的一个周期； (2)f(x＋T)＝ f(x)常写作f＝f； (3)若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期； (4)若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)(ω≠0)也是周期函数，且周期为. 一、1.f(－x)＝f(x)　y轴　相反　f(－x)＝－f(x)　原点　相同 二、1.周期函数　一个周期基础自测 1．(2013·肇庆二模)下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝|sin x| B．y＝|x| C．y＝x3＋x－1 D．y＝ln 解析：由|sin(－x)|＝|sin x|，得y＝|sin x|为偶函数，排除A； 由|－x|＝|x|，得y＝|x|为偶函数，排除B； y＝x3＋x－1的定义域为R，但其图象不过原点，故y＝x3＋x－1不为奇函数，排除C； 由＞0得－1＜x＜1，所以函数y＝ln的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 且ln ＝ln－1＝－ln ，故y＝ln 为奇函数，故选D. 答案：D 2．函数f(x)＝＋x的图象关于(　　) A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称解析：可判断f(x)＝＋x为奇函数，所以图象关于原点对称．故选C. 答案：C 3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝(　　) A．1　　B．－1　　C．－　　D. 答案：B4．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是________．解析：∵T＝4，且在[－6，－4]上单调递减， ∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f(x)为偶函数，故f(x)的图象关于y轴对称， 由对称性知f(x)在[0,2]上单调递增． 答案：单调递增 1．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　) A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－ g(x)是奇函数解析：因为g(x)是R上的奇函数，所以|g(x)|是R上的偶函数，从而f(x)＋|g(x)|是偶函数．故选A. 答案：A 2．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故选A. 答案：A 3．(2013·江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集用区间表示为________解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以易知x≤0时，f(x)＝－x2－4x解不等式得到f(x)＞x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案： (－5,0)∪(5，＋∞) 1．(2013·增城下学期调研)已知函数f(x)＝x－2，则(　　) A．f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增 C．f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减 D．f(x)为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增解析：f(x)＝，f(－x)＝＝＝f(x)是偶函数，在(0，＋∞)单调递减． 答案：C 2．(2013·温州高三第一次质检)已知f(x)是定义在R上是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是________．解析：依题意得f(0)＝0.当x＞0时，f(x)＞e0＋a＝a＋1.若函数f(x) 在R上是单调函数，则有a＋1≥0，a≥－1，因此实数a的最小值是－1