专题2.11轨迹方程问题的探讨（讲）-高考数学（理）二轮复习讲练测Word版含解析.docVIP

纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目.分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨. 求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等. 直接法：也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两 点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简.这种求轨迹方程的过程不需要特 殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法. 例1 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？ 思路分析：此题中利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，得到OM=这一等量关系，是此 题成功的关键所在. 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹. 2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程. 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程. 4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义， 则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程. 例2 已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 求点C的轨迹 思路分析：本题先用余弦定理化角的关系为边的关系，得到边的关系正好满足椭圆的定义，从而得到轨迹 方程 3. 用参数法求曲线轨迹方程 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为 参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹 的普通方程F（x，y）＝0. 例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的 中点M的轨迹方程. 思路分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立 动点M坐标（x，y）满足的参数方程. 思路分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？ 只需利用△PAB为直角三角形的几何特性： 解析2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， ∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形 点评：解法1用了参数法，消参时应注意取值范围.解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB＝－1， 这些等量关系.用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距 离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等.也可以没有具体的意义，选定参变量 还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响：此类方法主要在于设置合适的参数，求出参 数方程，最后消参，化为普通方程.注意参数的取值范围.参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选 参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变. 相关点法（代入法）如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点 坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P的坐标，然后把P的坐 标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程. 例4 M是抛物线y2=x上一动点，O为原点，以OM为一边作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程. 思路分析：动点P的位置，依赖于抛物线上的点M，故可考虑用相关点法求P的轨迹方程. 点评：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法. 例5. 点是椭圆上的动点为定点，求线段的中点的轨迹方程. 思路分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的， 显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法