高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第一节 微分方程的基本概念.pptVIP

* 一、微分方程 第七章　微 分 方 程 第一节　微分方程的基本概念 二、微分方程的解 定义 1　凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 一、微分方程 称为微分方程， 有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称做常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称做偏微分方程. 　本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程. (1) y?= kx, k 为常数； 　　例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数). (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； (3) mv?(t) = mg - kv(t)； 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数， 称为微分方程的阶. 例如，方程 (1) - (3) 为一阶微分方程， 通常，n 阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y?, ?, y(n)) = 0， 其中 x 是自变量， y 是未知函数，F(x, y, y?, ?, y(n)) 是已知函数， 而且一定含有 y(n). (4) (5) 方程 (4) - (5) 为二阶微分方程. 　　定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解. 二、微分方程的解 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同， 且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解). 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解. 　　例如方程 y? = 2x 的解 y = x2 + C 中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同， 因此，这个解是方程的通解； 如果求满足条件 y(0) = 0 的解，代入通解 y = x2 + C 中， 得 C = 0，那么 y = x2 就是方程 y? = 2x 的特解. 二阶微分方程的初始条件是 即 y(x0) = y0 与 y?(x0) = y?0， 　　一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题. 求解某初值问题，就是求方程的特解. 　　用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称为初始条件. 通常一阶微分方程的初始条件是 例 1 验证函数 y = 3e – x – xe – x 是方程 y? + 2y? + y = 0 的解. 解 求 y = 3e – x – xe – x 的导数， y? = - 4e – x + xe - x, y? = 5e – x - xe - x, 将 y，y? 及 y? 代入原方程的左边， (5e – x - xe - x) + 2(- 4e – x + xe - x) + 3e – x – xe – x = 0， 即函数 y = 3e – x – xe – x 满足原方程， 得 有 　　　　　　　　　　　　　　　　所以该函数是所给二阶微分方程的解. 得 C = 2，故所求特解为 y = 2x2 . 例 2 验证方程 的通解 为 y = Cx2 (C 为任意常数)，并求满足初始条件 y|x = 1 = 2 的特解. 解 由 y = Cx2 得 y? = 2Cx, 将 y 及 y? 代入原方程的左、右两边， 左边有 y?= 2Cx， 所以函数 y = Cx2 满足原方程. 又因为该函数含有一个任意常数， 所以 y = Cx2 是