《创新设计》二轮专题复习江苏专用数学理科WORD版材料专题三数列第2讲　数列的综合应用Word版含解析.docVIP

第2讲　数列的综合应用 高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题；(2)求数列的前n项和的几种方法；(3)数列与函数、不等式、数论等知识结合的综合问题.题型一般为解答题，且为压轴题. 真 题 感 悟 (2016·江苏卷)记U＝{1，2，…，100}.对数列{an}(n∈N*)和U的子集T，若T＝?，定义ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST＝at1＋at2＋…＋atk.例如：T＝{1，3，66}时，ST＝a1＋a3＋a66.现设{an}(n∈N*)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T?{1，2，…，k}，求证：ST＜ak＋1； (3)设C?U，D?U，SC≥SD，求证：SC＋SC∩D≥2SD. (1)解　当T＝{2，4}时，ST＝a2＋a4＝a2＋9a2＝30， ∴a2＝3，a1＝a23＝1， 故an＝a1qn－1＝3n－1. (2)证明　对任意正整数k(1≤k≤100). 由于T?{1，2，…，k}， 则ST≤a1＋a2＋a3＋…＋ak＝1＋3＋32＋…＋3k－1＝3k－12＜3k＝ak＋1. 因此，ST＜ak＋1. (3)证明　设A＝?C(C∩D)，B＝?D(C∩D)， 则A∩B＝?，SC＝SA＋SC∩D， SD＝SB＋SC∩D，SC＋SC∩D－2SD＝SA－2SB， ∴SC＋SC∩D≥2SD等价于SA≥2SB. 由条件SC≥SD可得SA≥SB. ①若B＝?，则SB＝0， 所以SA≥2SB成立， ②若B≠?，由SA≥SB可知A≠?， 设A中的最大元素为I，B中的最大元素为m， 若m≥I＋1，则由(2)得SA＜SI＋1≤am≤SB，矛盾. 又∵A∩B＝?，∴I≠m，∴I≥m＋1， ∴SB≤a1＋a2＋…＋am＝1＋3＋32＋…＋3m－1＜am＋12≤aI2≤SA2，即SA＞2SB成立. 综上所述，SA≥2SB.故SC＋SC∩D≥2SD成立. 考 点 整 合 1.数列求和常用方法 (1)分组转化求和：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和. (2)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn. (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如\f(canan＋1))(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 2.数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题，解决方法如下： (1)利用数列(或函数)的单调性； (2)放缩法：①先求和后放缩；②先放缩后求和，包括放缩后成等差(或等比)数列再求和，或者放缩后成等差比数列再求和，或者放缩后裂项相消法求和. 热点一　数列求和与不等式的结合问题 【例1】 (2016·泰州调研)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝(2)bn(n∈N*).若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求an与bn； (2)设cn＝1an－1bn(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn. ①求Sn； ②求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn. 解　(1)由题意a1a2a3…an＝(2)bn，b3－b2＝6， 知a3＝(2)b3－b2＝8. 又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)， 所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*). 所以，a1a2a3…an＝2n（n＋1）2＝(2)n(n＋1). 故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N*). (2)①由(1)知cn＝1an－1bn＝12n－\a\vs4\al\co1(\f(11n＋1)(n∈N*)， 所以Sn＝1n＋1－12n(n∈N*). ②因为c1＝0，c20，c30，c40； 当n≥5时， cn＝1n（n＋1）\f(n（n＋1）2n)－1)， 而n（n＋1）2n－（n＋1）（n＋2）2n＋1＝（n＋1）（n－2）2n＋10， 得n（n＋1）2n≤5·（5＋1）251， 所以，当n≥5时，cn0. 综上，对任意n∈N*，恒有S4≥Sn，故k＝4. 探究提高　(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性求解.(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证明.(3)当已知数列关系式时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的大小即可. 【训练1】 (2016·洛阳二模