高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第二节 函数的微分法.pptVIP

* 第二节　函数的微分法 一、导数的四则运算 二、复合函数的微分法 第二章　导数与微分 定理 1　设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， 在 x 处也可导， (u(x) ? v(x))? = u?(x) ? v ?(x); (u(x)v(x))? = u(x)v?(x) + u?(x)v(x); 一、导数的四则运算 且 则它们的和、差、积与商 　　证　上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个． 因为 u (x + ?x) - u(x) = ?u， 即 u (x + ?x) = u(x) + ?u， 同理有 v (x + ?x) = v(x) + ?v . y = u(x)v(x)， 令 则 ?y = u(x + ?x) v(x + ?x) - u(x)v(x) = [u(x) + ?u] · [v(x) + ?v] - u(x)v(x) = u(x)?v + v(x)?u + ?u ?v . 所以 推论 1　(cu(x))? = cu?(x) (c 为常数). 推论 2 解　根据推论 1 可得 (3x4)? = 3(x4)?， (5cos x)? = 5(cos x)?， (cos x)? = - sin x， (ex)? = ex， (1)? = 0， 故 f ?(x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) ? = (3x4) ? -(ex )? + (5cos x) ? - (1)? = 12x3 - ex - 5sin x . f ?(0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1 又(x4)? = 4x3， 　　例 1　设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f ?(x) 及 f ?(0).　 例 2　设 y = xlnx ， 求 y ?. 解　根据乘法公式，有 y? = (xlnx)? = x (lnx)? + (x)?lnx 解　根据除法公式，有 例 3　设 求 y ?. 例 4 设 f (x) = tan x， 求 f ?(x). 即 同理可得 (tan x)? = sec2x . (cot x)? = - csc2x . 解 例 5　设 y = sec x， 求 y ?. 解　根据推论 2，有 即 同理可得 (sec x)? = sec x tan x . (csc x)? = - csc x cot x . 另外可求得 (以后补证) 二、复合函数的微分法 定理 2　设函数 y = f (u)， u = ? (x) 均可导， 则复合函数 y = f (? (x)) 也可导. 且 或 或 即 证　设变量 x 有增量 ?x， 由于 u 可导， 　　　　　　　　　　　　　 相应地变量 u 有增量 ?u， 从而 y 有增量 ?y. 　　推论　设 y = f (u) ， u = ? (v)， v = ? (x) 均可导，则复合函数 y = f [? (? (x))] 也可导， 且 例 6　设 y = (2x + 1)5，求 y ?. 　　解　把 2x + 1 看成中间变量 u， y = u5，u = 2x + 1 复合而成， 所以 将 y = (2x + 1)5看成是 由于 例 7　设 y = sin2 x，求 y ?. 　　解　这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式， 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成. 而 所以 这里， 我们用复合函数求导法. 　　解　 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成， 所以 例 9　设 y = etan x，求 y ?. 　　复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出. 求 y ?. 解　将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中. 这样可以直接写出下式 例 10 例 12　设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f ?(x). 解 例 13 求 y ?. 解　这个复合函数有三个复合步骤 把这些中间变量都记在脑子中． 例 15 求 y ?. 解 　　解　先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则. 例 16 ,求 y ?. 例 17　设 y = sin(xln x)， 求 y ?. 解　先用复合函数求导公式， 再用乘法公式 y? = cos(xln