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應用教育心理學原理設計「數學歸納法」教學單元 許東協 陳 鋼 吳肇祖 內容提要 前言 教學目標的設計 (1) 教學內容分析 (2) 單元教學目標 (3) 教學策略的設計 學生個別差異 學生在學習過程中所遇到的問題 例證 ( 認知心理學在數學歸納法中的『問題解決』 啟示和結語 一、前言 數學歸納法是一種重要的數學方法，它的重要性主要體現在下列三個方面： 首先，它是一種處理無限問題的數學方法。數學歸納法經常用來證明與自然數有關的命題，由於自然數的個數是無限的，因此與自然數有關的命題是不可能通過有限次檢驗去證明。這需要通過在「有限」的情況下，去證明「無限」的情形。而數學歸納法正好提供了一種從有限到無限，保證命題結論正確可靠的數學方法。 其次，在觀察、猜測的基礎上，通過對命題一些特殊情況的實證，從而歸納出一般的情況。這是數學上發現新知識、新規律的重要途徑。我們知道猜測、發現的正確性是沒有保證的，而數學歸納法這時就可以用來證明其正確性。於是數學歸納法就把觀察 ----猜想 ----- 證明連繫起來，形成了一種科學的思維模式。 最後，由於數學歸納法的實質在於遞推，從命題在前個數的情況，推出第個數的情況。它對於提高學生的數學素養與發展數學能力，起著重要的作用。通過對數學歸納法的學習，領會遞推思想，掌握遞推的方法，對學生將來進一步發展數學有著極其重要的作用。 本報告的三位作者，多次或者至少有一次講授過「數學歸納法」教學單元。各位在「數學歸納法」教學單元的講授實踐中，發現一個理論上的問題，就是： 邏輯推理所展現的祇不過是數學產品，而不能告訴學習者這些數學結果是如何一步步被揭開、發展出來的。我們不能祇教數學技巧，還要教數學思考。 因此為了有效的數學的教與學，須尋求一套適用的教育心理學理論加以應用。 二、教學目標的設計 教學內容分析 數學歸納法就其證明的過程，學生其實不難掌握，完全可以仿照去證明有關的命題，但其內所含的數學思想，學生是不易領會的。首先是不明白為什麼數學歸納法是有效的。因為在中學階段，我們把數學歸納法當成是一個公理，但這個公理並不直觀易懂。 其次是為什麼數學歸納法的兩個步驟缺一不可。通常學生對第一步的作用不難理解，但對於第二步作用的把握則感到困難、難以理解。這可以從一些反例去說明兩個步驟中缺少任何一個都會得出錯誤的結論。數學歸納法的關鍵在於第二步。要完成第二步就必須使用歸納假設，這正是通過歸納假設的使用，才使 的情況得以遞推到 的情況。因此不使用歸納假設根本就談不上用數學歸納法證題。這裏常見的錯誤有兩種：一種是誤把代入作為證明，把需要加以證明的命題中的，用 代進去。另一種是不用歸納假設，而用了其它方法證明。 最後，可以用數學歸納法證明的命題很多，而些命題都必須和自然數有關，但由於各個問題的情況不同，因此我們在使用歸納假設的時候，常常要使用一些特殊技巧，所以在數學歸納法的教學中，必須要再三強調具體問題須具體對待，並須注意發展學生分析問題的能力。 單元教學目標 向學生介紹數學歸納法； 使學生理解、掌握數學歸納法的幾個步驟，並能清楚知道每一個步驟說明什麼問題； 通過反例使學生明白為什麼這些步驟缺一不可； 使學生掌握數學歸納法的證題方法； 使學生掌握發現規律，再利用數學歸納法證明規律的思維方法。 (三) 教學策略的設計 敎材的選取照顧學生的接受性 本教學單元的主要對象是中四理科班修讀附加數學的學生，學生在在初中時已初步了解甚麼是推理證明，能對一些問題進行簡單的推理和論證，再加上本校升讀理科班且修讀附加數學的學生一般能力都較高，數學基礎也比較扎實。因此，本數學教材的內容在抽象性和概括性亦較為適中，可以說是處於學生的智力發展水平。概括地說，這樣的數學教材內容是容易被學生理解、接受的，才能産生新舊知識有意義的同化作用，改造和分化出新的數學認知結構。 教材的直觀性 雖說中學生的認知發展水平已由具體運算進入了抽象運算階段，但是在每個新數學概念的學習過程中仍然要經歷從具體到抽象的轉化，他們在學習新的數學概念時仍採用具體或直觀的方式去探索新概念。因此，教材課程應向學生提供豐富的直觀背景材料。本敎學單元著重于向學生提示抽象概念的來龍去脈和其本質，在每一例題中，均向學生交待解題的思路、解題的關鍵及一些常用的數學技巧。 教材內容具啓發性 數學課程的啓發性就在於激發、誘導那些正待成熟的心理機能的發展，不斷地使「最近發展區」中新舊知識的矛盾得到轉化，從而進入更高的數學認知水平。在本教材設計中，引入解題分析，解題後的反思、評析就能不斷地激發、誘導那些正待成熟的心理機能的發展，不斷地使「最近發展區」的矛盾得到轉化，而進入更高一級的數學認知水平。 教材注重語言規範的訓練 證明過程是一種說明的過程，要使學生明確每一步推導都是一個因果關係的數學句子，而這些句子