第三章多维随机变量及其分布-应用数学协会.doc

第三章 多维随机变量及其分布 内 容 提 要 1、二维随机变量及其联合分布函数 设，为随机变量，则称它们的有序数组（）为二维随机变量. 设（）为二维随机变量，对于任意实数、，称二元函数 为（）的联合分布函数. 联合分布函数具有以下基本性质： （1）是变量或的非减函数； （2）且 ； （3）关于右连续，关于也右连续； （4）对任意点，若，则 . 上式表示随机点落在区域内的概率为：. 2、二维离散型随机变量及其联合分布律 如果二维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为二维离散型随机变量. 设为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布律. 表3.1 … … ┇ ┇ … … … … ┇ ┇ … ┇ … … … ┇ ┇ … ┇ … 联合分布律具有下列性质：（1）；（2）. 3、二维连续型随机变量及其概率密度函数 如果存在一个非负函数,使得二维随机变量的分布函数对任意实数有 ，则称是二维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）. 联合密度函数具有下列性质： （1）对一切实数，有； （2）； （3）在任意平面域上，取值的概率 ； （4）如果在处连续，则. 4、二维随机变量的边缘分布 设为二维随机变量，则称 ，分别为关于和关于的边缘分布函数. 当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布律. 当为连续型随机变量，则称 分别为关于和关于的边缘密度函数. 5、二维随机变量的条件分布 （1）离散型随机变量的条件分布 设为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布律分别为 ，则当固定，且时，称 为条件下随机变量的条件分布律.同理，有 （2）连续型随机变量的条件分布 设为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：.则当时，在和的连续点处，在条件下，的条件概率密度函数为：. 同理，有. 6、随机变量的独立性 设及分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数有则称随机变量与相互独立. 设为二维离散型随机变量，与相互独立的充要条件是. 设为二维连续型随机变量，与相互独立的充要条件是对任何实数，有. 7、两个随机变量函数的分布 设二维随机变量的联合概率密度函数为，是的函数，则的分布函数为. （1）的分布 若为离散型随机变量，联合分布律为，则的概率函数为： 或. 若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为： . （2）的分布 若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为： . 疑 难 分 析 1、事件与的积事件，为什么不一定等于？ 如同仅当事件相互独立时，才有一样，这里 依乘法原理.只有事件与相互独立时，才有 ，因为. 2、二维随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？ 由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布. 但是，如果相互独立，则，即.说明当独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布. 3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？ 两个随机变量相互独立，是指组成二维随机变量的两个分量中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有.两者可以说不是一个问题. 但是，组成二维随机变量的两个分量是同一试验的样本空间上的两个一维随机变量，而也是一个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的. 例 题 解 析 【例1】2件次品，3件正品，进行有放回的抽取和无放回的抽取.设为第一次抽取所得次品个数，为第二次抽取所取得次品个数.试分别求出两种抽取下：（1）的联合分布律； 2）二维随机变量 （3）是否相互独立. 分析：求二维随机变量的边缘分布律.由二维随机变量的边缘分布律的定义， ；将联合分布律表中各列的概率相加，即得关于的边缘分布律；将联合分布律表中各行的概率相加，即得关于的边缘分布律.关于与是否相互独立问题可由二维离散型随机变量与相互独立的充要条件来验证. 解：都服从0-1分布，分别记 （1）在有放回抽样时，联合分布律