第五章连续时间系统的复频域分析.doc

第五章 连续时间系统的复频域分析 皮埃尔·西蒙·拉普拉斯是法国数学家和天文学家。拉普拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。 复频域分析是分析LTI系统的有效工具。与傅氏变换分析法相比，它可以扩大信号变换的范围，而且求解比较简便，因而应用更为广泛。一些不存在傅里叶变换的时间函数，其拉普拉斯变换却存在，这在一定程度上弥补了傅里叶变换的不足，使得拉普拉斯变换更有生命力。 本章首先从傅里叶变换中导出拉普拉斯变换，把频域扩展为复频域，将拉普拉斯变换理解为广义的傅氏变换，对拉氏变换给出一定的物理解释。然后讨论拉氏正、反变换以及拉氏变换的一些基本性质，并以此为基础，着重讨论线性系统的拉氏变换分析法。最后介绍双边拉普拉斯变换、线性系统的模拟和信号流图。 5.1拉普拉斯变换 在前面章节的讨论中，可以看到，信号既可用时域表示，也可用傅里叶变换的频域表示，但并不是所有的时域信号都可以有对应的频域信号。事实上有许多信号，如阶跃信号、单边斜坡信号、单边正弦信号等等，它们不满足绝对可积的条件，因而不能直接得到其傅里叶变换表达式。虽然借助于广义函数仍可求得它们的傅里叶变换，但同时也增加了分析的难度。另外还有一些常见信号，例如增长指数信号，由于不满足绝对可积和条件而不存在傅里叶变换。为了简化某些常用信号的变换过程和使更多的常用信号存在变换，故将傅里叶变换推广为拉普拉斯变换（Laplace Transform）。 5.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 对于一个不满足绝对可积的条件的信号，如果用一个实指数函数与之相乘，只要的数值选择得当，就可以使满足绝对可积条件，称为收敛因子。 对取傅氏变换，有 （5.1） 令，则式（5.1）的结果用表示为 （5.2） 又根据傅里叶反变换式，可知 （5.3） 两边乘以，得 （5.4） 由式（5.2）定义的函数称为的双边拉普拉斯变换，简称拉氏变换。它是复频率的函数，记为L。 式（5.4）称为的拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。它是时间的函数，记为L-1。或称是的原函数，是的像函数。二者关系可表示为 傅氏变换是把信号分解为无限多个频率、复振幅为的虚指数分量之和，而拉氏变换是把信号分解为无限多个复频率为、复振幅为的复指数分量之和。拉氏变换与傅氏变换的区别在于：傅氏变换是将时域函数变换为频域函数，此处时域变量和频域变量都是实数；而拉氏变换是将时域函数变换为复频域函数，这里时域变量是实数，复频域变量是复数。也就是说，傅里叶变换建立了时域和频域之间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域（域）之间的联系。 考虑到实际中遇到的信号都是有始信号，即，，式（5.2）可以写成： （5.5） 称式（5.5）为的单边拉普拉斯变换，而反变换积分即式（5.4）并不改变。 此处积分下限选择，是因为考虑到包含或其导数的情况，对于在连续或只有有限阶跃型不连续点的情况，这些不同积分下限并不影响积分的值，只有当信号在处包含有或其导数时，积分结果才会不同。 在下节中可看到，信号及其导数的初始值可以通过单边拉氏变换融入到域中。单边拉式变换在分析具有初始条件的、由线性常系数微分方程描述的因果系统中起着重要的作用。所以，本书主要计论单边拉普拉斯变换（Unilateral Laplace Transform）。 5.1.2 收敛域 当信号乘以收敛因子后，有下列关系： （5.6） 则可以说在此区域内拉氏变换存在。其拉式变换的收敛域为 ，如图5.1所示的阴影部分，称为收敛横坐标。凡满足式 （5.6）的函数称为“指数阶函数”。指数阶函数若具有发散性可借助于指数函 数的衰减压下去，使之成为收敛函数。 对于稳定信号（常数，等幅），收敛域为平面的右半部；对有始有终的能量信号（如单个矩形脉冲信号），其收敛坐标为，收敛域为整个复平面，即有界的非周期信号的拉氏变换一定存在。对功率信号（周期或非周期的）以及一些非功率非能量信号（如单位斜坡信号），其收敛坐标。对于按指数规律增长的信号如，其收敛坐标。而对于一些比指数函数增长更快的函数，如或，找不到它们的收敛坐标，因此不能进行拉氏变换。 由于单边拉氏变换的收敛域比较简单，即使不标出也不会造成混淆。因此在后面的讨论中，常常省略其收敛域。 5.2单元信号的拉普拉斯变