5-21-2薛定谔方程讲义.pptVIP

* 提纲 ? 力学量用算符表达和本征方程 ? 自由粒子的 薛定谔方程 §4 薛定谔方程 量子体系的运动状态用波函数来描述； 力学量用力学量算符来描述。 ? 定态薛定谔方程 ? 势场中粒子的薛定谔方程 * 德拜指出： 几周后薛定谔找到（提出）了波函数满足的 微分方程 — 薛定谔方程，从而建立了描述 微观粒子运动规律的学科 —量子力学。 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程，同牛顿定律一样，它是不能够由其它基本原理推导出来的，它最初只是一个假定，后来通过实验检验了它的正确性，薛定谔因此获得了1933年的诺贝尔物理奖。 “对于波，应该有一个波动方程。” 1925年薛定谔在介绍德布罗意波的报告后, 量子体系的运动状态 --- 波函数 力学量 --- 力学量算符 * §4 薛定谔方程 (自由粒子) 建立薛定谔方程的主要依据和思路： * 要研究的微观客体具有波粒二象性，应该满足 德布罗意关系式 * 满足非相对论的能量关系式，对于一个能量为E， 质量为m，动量为P的粒子： * 若 是方程的解，则 也是它的解； 若波函数 与 是某粒子的可能态，则 也是该粒子的可能态。 因此，波函数应遵从线性方程。 * 自由粒子的外势场应为零(常数)。 * 自由粒子的波函数 一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率和波长： 或者用角频率和波矢量表示： 单色平面波的复数形式为： 称它为在坐标表象中动量为 的本征态。 单色平面波的实数形式 * (1) 自由粒子的 薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为P 的自由粒子 的波函数 时间偏导 位置偏导 二阶偏导 * 为自由粒子的质量，因为势能为零，故 所以得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程： 动力学方程经典波动的 奥地利人 Erwin Schrodinger 1887-1961 创立量子力学 * 一个动能为E和动量为 ，即波矢为 的自由粒子，在坐标表象的波函数： 同理，推广到三维 显然，波函数对时间求导，可得出 一维自由粒子的薛定谔方程： * 波函数对空间求导可得出： * The upside-down capital delta symbol also called nabla used to denote the gradient and other vector derivatives (From Wolfram MathWorld) * 定义算符： 则得： 考虑自由粒子的能量 又因为 得出： 许多单色平面波线性叠加的态仍是上述方程的解。 所以，可不写角码k。 自由粒子的 薛定谔方程 * 量子体系的运动状态由波函数来描述, 力学量用力学量算符来描述。 在一个确定的量子体系中测量某些力学量的值，不一定有确定值（因为不确定关系）。若其中某个力学量有确定的测量值，则该波函数所描述的状态是该力学量的本征态。 下面简单介绍量子力学算符和经典力学中的力学量的对应关系 前面从经典自由粒子的波函数得出了它应满足的方程 该方程是一个线性方程，所以叠加原理成立。 它是时间的一阶微分方程，因此其解（概率幅）将作因果变化，即t = 0 的值唯一地决定随后任何时刻的值。 从中可得到些启示： * 从上面推导可知有如下对应关系 利用上述对应关系可得出 动量 算符 动能 算符 (2) 力学量用算符表达和本征方程 ? 力学量算符 * 第一类:以坐标为函数的力学量，其量子力学应的算符形式不变。 如势能 和作用力 。 力学量用算符表达 (坐标表象中) 经验告诉我们，与经典力学量对应的量子力学 中的算符形式 另一类经典力学量是与动量有关，其量子力学所对应的算符可用与动量的对应关系得出，例如动能算符的表达式： * 角动量算符的表达式 * 角动量算符的模方定义为： 角动量的投影算符 球坐标 * ? 本征值和本征函数 当力学量算符 作用在波函数 上，其结果是 同一个函数乘以一个常量时： 是力学量A 取确定值 时的本征态 称上式为算符 的本征值方程。 是力学量A的一个本征值。 由本征值方程解出的全部本征值 就是相应力学量的可能取值。 * 如能量算符 的本征值方程 动量算符的本征值方程是 动量本征值方程的解在坐标表象中： 角动量平方算符 的本征值方程是 球谐函数 部分球谐函数的表示式： * 角动量沿 z 方向的分量算符 的本征值方程 可以解出本征函数 电子自旋角动量平方算符的本征值方程 电子自旋角动量z分量算符的本征值方程 * 简并态的选择不是唯一的 矩阵代数中的厄米矩阵