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概率论基础 §1 概率空间 §1.1 样本空间 在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象. 一类现象是在一定的条件下必然要发生某种确定的结果，称为必然现象. 另一类现象是在相同的条件下进行试验和观察时, 会出现不同的结果, 并且究竟出现哪一种结果不能事先预料, 这类现象称为随机现象. 从大量的试验和观察中呈现出的规律性叫做统计规律性. 对随机现象进行观察叫做随机试验, 简称为试验. 随机试验具有如下特征: 在同样条件下, 这种试验可以重复进行; 试验可能出现的结果不止一个, 每次试验只能出现其中的一个结果, 并且事先不能断定必然要出现哪一个结果; 能够明确指出这种试验可能出现的一切结果. 试验中每个可能出现的结果叫做样本点, 全体样本点构成的集合叫做样本空间. §1.2 事件 样本空间中, 具有某种性质的样本点构成的子集合称为随机事件, 简称 事件. 任何一个样本空间都有两个特殊子集,即空集和自身. 空集不包含任何样本点,它在任何次试验中都不可能发生, 因此称空集为不可能事件, 而包含一切样本点, 它在每次试验中都必然发生,因此称为必然事件. §1.3 概率 事件的概率是事件本身固有的属性,它是一个确定的数,不因在一次具体试验中该事件是否发生而改变. 概率的客观存在性的一个很重要的证据是事件出现的频率呈现稳定性. 试验次数不同时, 频率一般也不一样, 即使试验次数相同, 但频率的变动有一个明显的趋势,即它总是围绕某个固定常数上下波动, 这个常数正是事件的概率.当试验次数增大时, 一般来说, 频率与概率之间的偏差 会越来越小,只是偶尔会有较大的偏差. 这种性质叫做频率的稳定性. 频率的稳定性是一种统计规律性. §1.4 事件域 在一次试验中必有且只能有一个样本点出现,此样本点属于事件A,就称事件A在此次试验中发生了.一般来说,一个样本点可能属于许多事件,那么这许多事件在此次试验中都发生了. 事件的关系与运算有以下几种: 事件的并与交运算可以推广到一列事件的场合. 设,……是一列事件, 在一般理论中,样本空间与域都假定是事先给出的. §1.5 概率论的公理化定义 因为事件是的一个子集,它的概率是个数. 一个集合对应一个数, 称为集合函数.又因事件的全体是域,所以这个集合函数的定义域为, 而其值是区间[0, 1]中的数. §2 子域和Borel域 §2.1 子域 设是一个非空集合,是上的一个域.如果也是上的一个域并且,则称是的子域. 设是的子类.包含的最小域称为由生成的域, 记为. 这个定义只说明了的存在,并没有说明是如何生成的. 实际生成过程是: 先将中的元素进行有限或可列运算,如果运算结果不在中, 就把这些结果添加到中去, 把扩大后的中的元素再进行运算,如果运算结果仍不在扩大后的中, 再把这些结果添加进去。直到扩大后对可列运算封闭为止. 这就生成了. 定理2 设是由一列集合组成的集合,则. §2.1波雷尔域