高一数论讲义.docVIP

数 论 讲 义3 复习回顾： 1．同余性质： （1.）若a ≡b (mod mi) 则a ≡b （mod[m1,m2,…m3]） （2.）若a ≡b (mod m) ，d|m，d0，则a ≡b(mod d) （3. ）a ≡b(mod m),则（a,m）=(b,m)，因而若d能整除m及a,b二数之一，则d必能整除a,b 2．欧拉函数：在数，对正整数n，欧函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目又称为Eulers totient function、φ函数、欧拉商数等。 （或者说是表示0，1，2，……，m-1中与m互素的数的个数） 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质 4．值的计算： （设=是n的素数分解式） φ(1) = 1（小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身）。 若n是质数p的k次幂， == pk ? pk ? 1 = (p ? 1)pk ? 1，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 设=是n的素数分解式，则= = 在实际计算时，常采用 5．欧拉定理：设a,m是正整数，m1，且（a,m）=1，则(mod m) 若m是素数p，则，则有：推论（费马小定理）：若p是素数，则 新授内容： 高斯函数（取整函数）： 定义：设，用表示不超过的最大整数。则称为高斯函数，也叫取整函数。显然，的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即，因此，，这里，为的整数部分，而为的小数部分。 例如: []=___________;[-0.2]=___________;[π]=_____________ 2.性质: 1.函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有； 2.，其中； 3.； 4.若，则其中； 5.对于一切实数有； 6.若，则； 7. 8.若，则；当时，； 9.若整数适合（是整数，），则； 10.是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个； 11.设为任一素数，在中含的最高乘方次数记为，则有： 。 证明：由于是素数，所有中所含的方次数等于的各个因数所含的方次数之总和。由性质10可知，在中，有个的倍数，有个的倍数，有个的倍数，，当时，，所以命题成立。 高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。 解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。 例题1：，则x的取值范围是________________ 例题2：试解方程 例题3：求适合方程x-[]-2=0的一切实数解。 例题4：证明不存在实数x，使得[x]+[2x]+[3x]+[4x]=147 2.的标准分解式（素因数分解式） 设素数pn,则的标准分解式中，素数p的最高次幂为+ 例题5：求20！的标准分解式 例题6：（03年上海交通大学自主招生考试题）100！末尾连续有个__________零 注：（05年上海交通大学自主招生考试题）2005！末尾连续有个__________零 3. 厄尔米特恒等式：对任x大于0，恒有[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+… …+[x+(n-1)/n]=[nx]。(1)若x是整数 则[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+……+[x+(n-1)/n]=x+x+...+x=nx=[nx] (2)若x不是整数 则x=[x]+{x}且对于任意n，存在k，使得{x}+(k/n)1≤{x}+(k+1)/n 于是[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+……+[x+(n-1)/n] =[[x]+{x}]+[[x]+{x}+1/n]+...+[[x]+{x}+k/n]+[[x]+{x}+(k+1)/n]+...+[[x]+{x}+(n-1)/n] =(k+1)[x]+(n-k-1)([x]+1)=n[x]+n-k-1 再由{x}+(k/n)1≤{x}+(k+1)/n知n-k-1≤n{x}n-k 所以[nx]=[n([x]+{x})]=[n[x]+n{x}]=n[x]+[n{x}]=n[x]+n-k-1 因此[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+……+[x+(n-1)/n]=[nx] (2) 练习： 使[]+[]+[]+…+[]=1994成立的正整数n=____________ （第36届美国数学竞赛）求方程（其中[x]为高斯函数）的实数解。 赞同 4 不是整数时） （是整数时）