北京市东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试数学(理)试题.docxVIP

北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（理科）本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。第I卷（选择题 共40分）一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 设U=R，集合，则下列结论正确的是A. B. C. D. 2. 双曲线的焦距为A. 6B. 12C. 36D. 3. 设二项式的展开式中常数项为A，则A=A. -6B. -4C. 4D. 6 4. 如图所示的程序框图表示求算式“”之值，则判断框内不能填入A. ？B. C. ？D. ？ 5. 已知有唯一的零点，则实数的值为A. 0B. -1C. -2D. -3 6. 设为非零常数，则“与解集相同”是“”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件C. 必要而不充分条件D. 充分而不必要条件 7. 设集合，集合，若，则实数的取值范围是A. B. C. D. 8. 已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共110分）二、填空题。（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 9. 复数的虚部为__________。 10. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是__________。 11. 如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD与⊙O相切，割线DM与⊙O相交于点M，N，若∠B=30°，AC=1，则DMDN=____________。 12. 某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：假定每月初可以和电信部门约定上网方案。方案类别基本费用超时费用甲包月制70元乙有限包月制（限60小时）50元0.05元/分钟（无上限）丙有限包月制（限30小时）30元0.05元/分钟（无上限）若某用户每月上网时间为66小时，应选择__________方案最合算。 13. 数列的前项和记为，若，，则数列的通项公式为_______________。 14. 圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图装置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为____________。三、解答题。（本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤） 15. （本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，满足，且。（I）求C的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的值。 16. （本小题满分13分）如图，四棱锥中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2AB=2BC=2。（I）求三棱锥的外接球的体积；（II）求二面角与二面角的正弦值之比。 17. （本小题满分13分）设集合，从S的所有非空子集中，等可能地取出一个。（I）设，若，则，就称子集A满足性质，求所取出的非空子集满足性质的概率；（II）所取出的非空子集的最大元素为，求的分布列和数学期望。 18. （本小题满分14分）如图，已知椭圆的左焦点为F（，0），过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线与椭圆W交于不同的两点A、B，延长BF交椭圆W于点C。（I）求椭圆W的离心率；（II）若∠MAC=60°，求直线的斜率。 19. （本小题满分13分）已知定义在上的函数，。（I）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（II）若且对任意的恒成立，求的最大值。 20. （本小题满分14分）给定正奇数，数列：是1，2，…，的一个排列，定义E（，…，）为数列：，，…，的位差和。（I）当时，求数列：1，3，4，2，5的位差和；（II）若位差和E（，，…，）=4，求满足条件的数列：，，…，的个数；（III）若位差和，求满足条件的数列：的个数。参考答案：一、选择题。（共8小题，每小题5分，共40分） 1. A2. B3. B4. D5. B6. A7. C8. D 7. 提示：由图可知，不等式组所表示的区域非空当且仅当点（）位于直线的下方，即，由此解得。原题等价于函数的最大值小于2，即。 8. 提示：为R上的减函数，故，从而，所以，得。二、填空题。（共6小题，每小题5分，共30分） 9. -110. 11. 312. 乙 13. 14. 提示：A走过的路径由9段圆心角均为的劣弧组成，其中6个劣弧所在圆的半径为1，3个劣弧所在圆的半径为，所以点A走过的路径的长度为。三、解答题。（共6小题，共80分） 15. （本小题满分13分）解：（I）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，（4分）因为，所以0，从而，即。（6分）（II）由余弦定理，得，又，所以，于是，（11分）当时，取