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专题一：数学思想方法 ——分类讨论思想 特殊与一般思想 【概要】 1.分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置 2.特殊与一般思想通过对个例认识与研究，形成对事物的认识由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向 【问题一】由知识概念特性而引起的分类讨论问题 【例题1】（1）一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为 . （2）已知圆x2+y2=4，求经过点P（2，4），且与圆相切的直线方程。 分析：（1）截距相等包含了截距都为0的情况；（2）注意讨论切线斜率的存在性. 易错点：（1）由于对截距概念的理解错误而容易丢失过坐标原点的直线；（2）容易用“点斜式”设出切线方程求解，而忽视垂直于x轴的直线。 解：（1）x+y-7=0;当截距为零时得：2x-5y=0； （2） 当切线的斜率存在时，由点斜式设直线的方程化为一般式： ,由点到直距离得,解得,所以切线方程为： 3x-4y+10=0；当切线的斜率不存在时得x=2，所求直线方程为3x-4y+10=0或x=2. 【规律与总结】数学知识中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这是造成分类讨论的原因之一，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举如下： （1） “方程有实数解”转化为时忽略了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0； （2）等比数列的前项和公式中有个别情形：时，公式不再成立，而是Sn=na1。 （3）设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。 （4）若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。 【变式演练】(1)已知数列的前n项和，则的通项为 . （2）椭圆的离心率为，则的值为_____________ 解答：（1）当n=1时，；当时，， ∴；（2）注意讨论焦点在x轴或y轴，答案. 【问题二】由数学问题中含有参数而引起的分类讨论 【例题2】(2014-2015学年) 已知函数的单调区间. 分析：利用导数研究函数单调性，关键明确导函数零点与定义域的关系，正确判断导数符号. 当时，,,当时,若，由，即，得或；由，即，得 ；若，,. 易错点：找不准讨论点，容易出现“顾此失彼”而产生遗漏或找不全讨论点，容易出现分层不清，越级讨论而产生混乱与遗漏，或者默认参数取值造成错误。 解：函数的定义域为，. 1)当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减； 2)当时，， （ⅰ）若，由，即，得或；由，即，得．所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． （ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． 【规律与总结】数学中含参问题贯穿数学的每一个分支之中，可以说，每一道数学题均可改编为含参问题，由此可见分类讨论思想是数学解题的中心思想之一，解含参数的数学问题必须注意：（1）（2） 【变式演练】(1)设集合，，集合中所有元素之和为8，则实数的取值集合为 A． B． C． D． (2)解下列关于x的不等式： ； 解答：(1)？？？？？； (2)， ①当时，原不等式解集为：； ②当时，原不等式解集为Ф； ③当时，原不等式解为：. 【问题三】运用特殊与一般思想 【例题3】（1）(·厦门)如图，中， ,则______. （2）(2014·三明)在△ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 . 分析：当客观题中的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果 易错点：容易落入“俗套”采用直接法，因步骤与运算的繁销而造成“畏难”放弃或运算失误等. 解：特殊化：(1)由于题设中没限制三角的形状，所以可取特殊的三角形，取,建立直角坐标系，则很快可得. (2)令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为. 【规律与总结】对于客观题在题设条件下普遍都成立的，